π(円周率)ってなんなんですか？

円周を直径で割った数なのはわかりますが、これではその割った数がなんなのかなどが全く分からないです…

また、この円にn角形(nは任意の自然数)を入れると円周率が求められるのはなぜでしょうか？
n角形に円周なんて存在しませんのに

No.3 ベストアンサー 回答者： chie65535 回答日時： 2012/02/03 15:06

＞円周を直径で割った数なのはわかりますが

「円周を直径で割った数」って事は「直径を【円周を直径で割った数】倍すると、円周になる」って事です。

「直径」は「まっすぐ」だから、定規や物差しを当てて、長さを測れます。

ですが、円周は「ぐるっと回ってる」ので定規や物差しじゃ、長さを測れません。

なので「直径を計った時に、どうにかして円周の長さが判らないだろうか？」って考えました。

直径も円周も「長さ」なので「直径と円周の比率」が判れば「直径を計っただけで、円周の長さが判る」事になります。

その時の直径と円周の比率が「１：π」なのです。

「直径：円周＝１：π」、って事です。

比の内積と外積は等しいので、外側同士を掛けたのと、内側同士を掛けたのは等しいですから

円周×１＝直径×π

って式が出来ます。

両辺を直径で割ると

円周×１÷直径＝直径÷直径×π

ですので、整理すると

円周÷直径＝π

になります。

「円周を直径で割った数がπ」になりましたね。

そういう訳で「円周を直径で割った数」を何に使うかと言うと「直径を計っただけで円周の長さを求める時に使う」のです。

応用で「半径を計っただけで円の面積を求める」とか「半径を計っただけで球の体積を求める」のにも使えます。

この回答へのお礼

詳しくありがとうございます 単に円周を求める道具なのですね

お礼日時：2012/02/03 16:06

No.8 回答者： noname#152422 回答日時： 2012/02/04 02:50

実は自分も昔同じような疑問を持ったことがあります。

> 円周を直径で割った数なのはわかりますが

これが曲者で、そこからπを定義しようとしても多角形で近似するときに

> n角形に円周なんて存在しませんのに

と書かれているように、ある種の誤魔化しがあってうまくいきません。

以下の手順は、誤魔化しをしないで済むようなよくある方法です：

・ベキ級数により指数関数e^zを定義する。
・z=it（iは虚数単位、tは実数）のときのe^zの実部をcos(t)と置くことによってcosを定義する。
・cosは解析的で、原点の付近で正であり、負の値も取ることから零点が存在してしかも孤立していることからcos(t)=0を与える正数tに最小値が存在することを示し、それをπ/2と定義する（πの定義）。

なんとも天下り的なπの定義です。

円周の長さについては、積分を使って定義することになるわけですが、直径が2rのとき円周の長さが2πrとなることは定義ではなくて計算結果として出てくる定理に過ぎません。また、正多角形の周の長さによる近似も、計算すると円周の長さと一致しているというだけです。直径と円周の長さの比がどんな直径のときでも同じというのは驚異的なことです。

円周率を小学校で教えるのに微積分を使うわけにはいかないという立場を取るならば、数学的な正さを犠牲にして、いわば「方便」として「直径と円周の長さの比を円周率という」というのをあたかも定義であるかのようにしたのではないでしょうか。そして私はそのやりかたでいいと思っていますし、疑問を持ったらそこで厳密な理論を学べばいいのです。

No.7 回答者： hugen 回答日時： 2012/02/04 01:00

円周=直径×π(円周率)＝=直径×３．１４１５９・・・倍

No.6 回答者： kamobedanjoh 回答日時： 2012/02/03 18:47

円周率πの求め方

円の中心から円弧をN等分し、その時の円弧の長さをΔSとします。
その時、円弧の数はN個ですから、ΔSをN個加え合わせれば円周の近似値が得られます。
Nを無限大に設定し、無限大個のΔSの一個の長さをdS、N等分された円弧の中心角をdθと規定することを、円弧と中心角の微分と言います。
後は微分長dSを、円周の角度０から３６０度まで積分することで円周の長さが求められ、どんな大きさの円でもπが一定の無限小数であることが証明されます。
微分、積分の初歩は高校でも習います。
極めて象徴的な表現で、今は却って混乱するかも知れませんが、微積分学習では必ず習いますから、習得出来たらなんと言うことも無い数学理論です。

この回答へのお礼

数学的な回答ですね ありがとうございます！

お礼日時：2012/02/03 21:49

No.5 回答者： chie65535 回答日時： 2012/02/03 15:27

＞この円にn角形(nは任意の自然数)を入れると円周率が求められるのはなぜでしょうか？

ｎを大きくしていくと、円と正ｎ角形が似てくるからです。

http://www.junko-k.com/jyoho/simulation/flash-pi …

このページでｎを３とか４とかにしても「正多角形と円は似ても似つかない」けど、ｎをどんどん大きくしていくと、正多角形と円がだんだん似てきて、ｎを1000にしたあたりでは、正１０００角形と円がソックリになってきます。

正１０００角形なら「１０００個の辺の長さの合計は、計算で求まる」ので、計算が可能です。

＞n角形に円周なんて存在しませんのに

ｎを無限に大きくすると、正ｎ角形のｎ個の辺の長さの合計が、円周の長さに無限に近付きます。

正九千九百九十九無量大数九千九百九十九不可思議九千九百九十九那由他九千九百九十九阿僧祇九千九百九十九恒河沙九千九百九十九極九千九百九十九載九千九百九十九正九千九百九十九澗九千九百九十九溝九千九百九十九穣九千九百九十九

この回答への補足

ちなみに辺の長さはどうやれば分かるんですか？定規を使わないと無理なんじゃ…

補足日時：2012/02/03 23:14

この回答へのお礼

確かに似てますね…9999不可転不可転説とかだと違いが分からないですね

お礼日時：2012/02/03 16:08

No.4 回答者： Turbo415 回答日時： 2012/02/03 15:10

円周率とは直径を１としたときの円周の長さと直径の比です。

比を出すため（直径の何倍なのか）に割り算をしたと言うことです。
例えば正方形の1辺と外周の長さの比は1辺を１とすると外周は４です。
ですから正方形の外周率（そういう言葉があるかどうかは分かりませんが）は４÷１だから４と言うことです。
正5角形なら5です。
それが円の場合は割り切れない数字なので仮にパイと表しただけです。

この回答へのお礼

詳しくありがとうございます 前述の回答と合わせて、理解できました

お礼日時：2012/02/03 16:07

No.2 回答者： FEX2053 回答日時： 2012/02/03 14:08

数学に弱い人って、いつも直接的に数の意味を

考えてしまうんですが、違うんですね。

「π」って「円周を直径で割った数」をそう言うって
だけです。「π」自体に意味はありません。

「円周を直径で割った数」は直径（または円周）の
長さに依らず一定なんです。おまけにこの数字は
分数では表せないことが証明されている。

でも、その数字は円周が絡む図形の色々な場所
で出てくるんで、毎回「3.1415・・・」と書くのが
面倒だから「え～い！"π"と書いてしまえ」という
事になったんですね。

ですので、「π」そのものに意味なんぞありません。
単純に「3.1415・・・」と書くのが面倒だから、数学
の世界では「π」って書くと約束してるだけです。

同じような数字として自然対数の底の「ｅ」とかが
あります。

この回答へのお礼

工学で使う虚数単位iとかと同じなんですね…わかりました

お礼日時：2012/02/03 16:04

No.1 回答者： suzukikun 回答日時： 2012/02/03 14:03

どんな大きさの円でも円周÷直径の値が同一の値になるというのが円周率の意味です。

ｎ角形を入れても円周率は求まりません。近似ができるだけ。

この回答へのお礼

なるほど

お礼日時：2012/02/03 16:03