線形代数 二次形式 符号

(1)次の２次形式の符号を求めよ。
f(x,y,z,w) = x^2+4y^2+4z^2-w^2+2xy-2xz+2xw+6yz+4yw
という問題で、
f(x,y,z,w) = x^2+4y^2+4z^2-w^2+2xy-2xz+2xw+6yz+4yw
　　　　　 =(x+y-z+w)^2-(y-z+w)^2++4y^2+4z^2-w^2+6yz+4yw
=(x+y-z+w)^2+3y^2+3z^2-2w^2+8yz+2wy+2zw
というところまでは求まったのですがその先はyについて行うというのは分かっているのですがその先が行き詰まってしまっています。

途中経過も含めて解答していただけると幸いです。

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2012/02/21 01:03

f(x,y,z,w)

=(x+y-z+w)^2+3y^2+3z^2-2w^2+8yz+2yw+2zw ... x^2,xy,xz,xwの項を無くす。
=(x+y-z+w)^2+(1/3)(3y+4z+w)^2 -(7/3)z^2 -(2/3)zw-(7/3)w^2 ... y^2,yz,ywの項を無くす。
=(x+y-z+w)^2+(1/3)(3y+4z+w)^2 -(7/3)(w+z/7)^2 -(16/7)z^2 ... w^2,zwの項を無くす。

これで２乗項だけで表現できました。

従って２次形式の符号は「正が２つ、負が２つ」である。

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2012/02/05 08:39

参考URLの例題3.14の方法で対角化して標準形を求め、

各項の係数の符号を求めるやり方もあるかと思います。

なお質問の2次形式の場合は固有値は単純な値になりませんので固有値による
対角化はやめた方が良いでしょう。念のため記しておきます。

参考URL：http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/se …

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/02/05 02:31

どう「行き詰まってしまってい」るのですか?

まぁ, 別に「何がなんでも次は y じゃなきゃいけない」ということもないんだけど.