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No.2ベストアンサー
- 回答日時:
いずれにしても、相加平均・相乗平均を使う事になる。
b+c≧2√(bc)、等号は b=cの時。c+a≧2√(ca)、等号は a=cの時。a+b≧2√(ba)、等号は a=bの時
よって、この3つの不等式を掛けると (b+c)(c+a)(a+b)≧8abc。
等号は a=b=cの時
相加平均・相乗平均を掛け合わせて使う時 注意しなければならないのは 等号成立条件。
簡単な問題だから、ちょつと遊んでみよう。
a+b+c=αとすると (b+c)(c+a)(a+b)=(α-a)*(α-b)*(α-c)=α^3-(a+b+c)α^2+(ab+bc+ca)αーabc=α^3-α^3+(ab+bc+ca)αーabc=(ab+bc+ca)αーabc。
つまり、(ab+bc+ca)(a+b+c)≧9abcを示すと良い。
a+b+c≧3(3)√(abc)、ab+bc+ca≧3(3)√(abc)^2.
この2つの不等式を掛けると、(ab+bc+ca)(a+b+c)≧9abc 等号はa=b=cの時
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