数学I・IIの問題について。

分からない問題があったので教えてください。

(1)□を数字で埋めてxの恒等式にせよ。
x4乗＋x3乗＋x2乗＋x＋１＝(x2乗＋□x＋１)(x2乗＋□x＋１)

(2)画像添付

(3)y＝｜x(x-2)｜のグラフとy=kのグラフを利用して、方程式｜x(x-2)｜=k (kは実数)の解の個数を調べよ。

(4)実数、x,yがx＋3y=1を満たすとき、x2乗＋y2乗の最小値を求めよ。

(5)条件x2乗＋y2乗=4(x.yは実数)のもとで、2x+y=4の最大値、最小値を求めよ。

(6)正の数x、yがx分の2+y分の3=1を満たすとき、xyの最小値を求めよ。(相加平均・相乗平均の関係を用いて。)



これらの問題の詳しい解説付きで教えていただけると嬉しいです。

ぜひお願いします。

No.3 回答者： OurSQL 回答日時： 2012/03/26 17:29

> x4乗＋x3乗＋x2乗＋x＋１

x4乗 なら x^4 と書きましょう。

> (6)正の数x、yがx分の2+y分の3=1を満たすとき
2/x + 3/y = 1　または　(2/x) + (3/y) = 1　と書きましょう。
(2) の分数式も、同様に画像を使わずに表現できます。

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2012/03/26 11:03

取り敢えず(1),(2)のみ

(1)
x^4+x^3+x^2+x+1
=(x^2)((x^2+1/x^2)+(x+1/x)+1)
=(x^2)((x+1/x)^2+(x+1/x)-1)
=(x^2)((x+1/x)+(1+√5)/2)((x+1/x)+(1-√5)/2)
=(x^2+((1+√5)/2)x+1)(x^2+((1-√5)/2)x+1)

(2)
(2x-13)/(x^2-3x-4)=3/(x+3) -1/(x-4)

No.1 回答者： DJ-Potato 回答日時： 2012/03/26 10:54

(1)

(x^2＋Ax＋１)(x^2＋Bx＋１)
=x^4 + (A+B)x^3 + (AB+2)x^2 + (A+B)x + 1
A+B=1
AB+2=1　⇔　AB=-1

∴　AorB = (1±√5)/2


(2)
(2x - 13)/(x^2 - 3x - 4)
=(2x - 13)/(x+1)(x-4)
={(3x - 12) - (x + 1)}/(x+1)(x-4)
=3(x+4)/(x+1)(x+4) - (x+1)/(x+1)(x-4)
=3/(x+1) + -1/(x-4)


(3)
グラフを描くと
x<0, x>2の時、y=x(x-2)
0<x<2の時、y=-x(x-2)

k<0の時　０個
k=0の時　２個
0<k<1の時　４個
k=1の時　３個
1<kの時　２個


(4)
直線x + 3y = 1と交点(接点)を持つように、円x^2 + y^2 = r^2を描くときの、r^2の最小値ですね。
言い換えれば、直線x + 3y = 1と原点との距離ｒの二乗ですね。

点(x,y)と直線ax + by + c = 0の距離dは
d = |ax + by + c|/√(a^2 + b^2)

点(0,0)と直線x + 3y - 1 = 0の距離dは
d = |-1|/√(1^2 + 3^2)
= (√10)/10

r^2 = 1/10


(5)
x^2 + y^2 = 4のもとで、2x+y=4は４ですね。最大値も最小値もないです。
2x+yの最大値最小値であれば、
2x+y=kとでもおいて、円x^2 + y^2 = 4と接する時のkの値を求めればいいわけです。
(4)と同様に
点(0,0)と直線2x + y - k = 0の距離2は
2 = |-k|/√(2^2 + 1^2)
= ±k/√5
k = ±2√5


(6)
2/x + 3/y = 1
(2/x + 3/y)/2 = 1/2
√(2/x×3/y)≦(2/x + 3/y)/2 = 1/2
√(6/xy)≦1/2
6/xy≦1/4
xy≧24


こんな感じですかね。
間違っているかもしれません。
検算してください。