絶対値の問題

-2≦x≦4のとき、｜x+2｜＋｜x-4｜の値を求めよ。という問題です。
解答を見ると、
-2≦x≦4より
｜x+2｜＝x+2
｜x-4｜＝-(x-4)
より
｜x+2｜＋｜x-4｜
＝x+2-(x-4)
＝6
となっています。
どうして-2≦x≦4の範囲だと｜x+2｜＝x+2　、　｜x-4｜＝-(x-4)　となるのでしょうか？

私なりに考えて見ましたが納得いきません。
｜x+2｜＝x+2　となるのは、
ｘ＝-2を代入してみると、x+2＝-2+2＝0　
ｘ＝4を代入してみると、x+2＝4+2＝6
だから、ｘの範囲がすべて正だからでしょうか？
｜x-4｜＝-(x-4)　となるのは
ｘ＝-2を代入してみると、x-4＝-2-4＝-6　
ｘ＝4を代入してみると、x-4＝4-4＝0
となり、ｘの範囲がすべて負だからでしょうか？
0を含んでいるので分からなくなっています。
絶対値の外し方？符号の決め方？どのようにしたらいいのでしょうか？解説をお願いします。

　

No.3 ベストアンサー 回答者： MarcoRossiItaly 回答日時： 2012/04/07 23:56

＞絶対値の外し方？符号の決め方？どのようにしたらいいのでしょうか？

まさにおっしゃるとおりです。絶対値を外すことができれば、そのような疑問はなくなります。外してみましょう。

具体的な数で考えてみましょう。|3|=3であり、絶対値の中が0以上のときは、符号を変えずに単に絶対値を外せばいいのです。また、|-3|=3であり、絶対値の中が0以下のときは、符号を変えて絶対値を外せばいいのです。

文字が含まれていても、全く同じです。絶対値を外すためには、その中が0以上なのか0以下なのかを判断する必要があります。つまり、不等式を解けばいいのです。|x+2|の絶対値を外すため、その前に、

「x+2≧0」と「x+2≦0」を解くだけです。「x≧-2」、「x≦-2」となります。とっても簡単ですね？つまり、「x≧-2」なら符号を変える必要はないし、「x≦-2」なら変えないといけません。（なお不等号の「＝」は、両方のケースに付けておいて問題ありません）

とまあ、きちんと説明するなら以上のとおりなのですが、直観でも何となく分かりますね？つまり、x+2という式の形を見ると、「xが大きくなるほどx+2も大きくなるはずだ」と。「y=x+2」のグラフ（右上がり）なんかを考えてもいいです。けれども、2-xだと、「xが大きくなるほど2-xは小さくなるはずだ」と感じますね？だって、引く数がどんどん大きくなれば、全体は小さくなりそうですよね？「y=2-x」のグラフ（右下がり）を考えてもいいです。

|x-4|についても、全く同じ理屈です。慣れてください。

No.2 回答者： miniture_min 回答日時： 2012/04/07 23:50

＞｜x+2｜＝x+2　となるのは・・・ｘの範囲がすべて正だからでしょうか？

＞｜x-4｜＝-(x-4)　となるのは・・・ｘの範囲がすべて負だからでしょうか？
その通りです。

＞0を含んでいるので分からなくなっています。
0の絶対値は0ですよ？


＞絶対値の外し方？符号の決め方？どのようにしたらいいのでしょうか？
まず、-2<y<-1という範囲をとるyを考え見てください。

このとき、|ｙ|は1<y<2となります。
当たり前ですが、絶対値にはマイナスの値はありません。

もう少し考えれば、yはマイナスの値しかとらないのに、
|ｙ|は常にプラスの値なのだから、|y|の値はyの±を逆にしたものになると気づくはず。


これを踏まえてもういちど考えてください。
x+2は-2≦x≦4の範囲だと
-2+2≦x+2≦4+2⇒0≦x+2≦6となります。

x-4は-2≦x≦4の範囲だと
-2-4≦x-4≦4-4⇒-6≦x-4≦0となります。

ここまで書けば、おのずと答えは分かるはず。

No.1 回答者： asuncion 回答日時： 2012/04/07 23:46

|x+2|=x+2 (x≧-2のとき) …… (1)

|x+2|=-x-2 (x≦-2のとき) …… (2)

|x-4|=x-4 (x≧4のとき) …… (3)
|x-4|=-x+4 (x≦4のとき) …… (4)

上記の各条件には、あえてすべて等号を付けてあります。
今回考えるのは-2≦x≦4ですから、(1)と(4)の場合です。
よって、与式=x+2+(-x+4)=6
です。