在宅ワークのリアルをベテランとビギナーにインタビュー>>

こんにちは、いつも勉強させてもらっております。

ある物理の問題で、私の解法が模範解答と異なるため、添削頂き、間違っている点を
ご指摘頂きたく質問させて頂きました。どうか宜しくお願いします。

添付の図の上段をご覧下さい。質量Mの棒abの両端がそれぞれのスライダーの上を
動けるように固定されています。
左端aは鉛直方向に、右端bは水平方向にそれぞれ動けるようなスライダーです。
左端にはスライダーに沿ってバネ(定数: k)が仕込まれております。

はじめ、棒は水平方向に押さえられており、このときのバネの長さが自然長であるとします。
今、「はじめ」の状態から、棒abをリリースして、棒abが図のように水平方向と角度θとなったとき、
左端aの速度を求めよ、という問題です。

私の解法を次に示しますので、どうか検証頂ければと思います。

はじめの状態でのエネルギーをゼロとして、
角度がθとなったときのエネルギーの合計がゼロとなるようにして求めたいと思います。

バネの弾性エネルギー: 0.5k(Lsinθ)^2
重心(abの中点)の位置エネルギー: -Mg x 0.5Lsinθ
重心の運動エネルギー: 0.5MVg^2
棒の回転の運動エネルギー: 0.5Iω^2

これらの総計がゼロであるという式を立てます(式1)

ここで未知数は、
重心の速さVg、棒の慣性モーメントI そして棒の角速度ωとなります。

そして、aとbの速度の向きが規制されている点に着目し、棒の回転について
瞬間中心cを求めました(添付の図の下段: 角acbは直角)。この瞬間、
棒のどの点もこの瞬間中心cを中心に角速度ωで回転しています。ですので、
このことから棒の慣性モーメントを求め、重心の速さと棒の角速度の関係を
求めることができます。

棒の慣性モーメントは、次のようにして求めました。
棒の重心(aとbの中点)を回転軸とした場合の棒の慣性モーメント:Ig = (ML^2)/12
に重心Gからc点までの距離(L/2)の二乗と棒の質量をかけたものを足します(平行軸の定理)。
I = Ig + m(L/2)2 = (ML^2)/3

また、Gから瞬間中心までの距離(L/2)が半径となり、
重心の速さVg = 回転の半径(L/2) x ωとなります。

以上により、未知数はωだけとなり、式1からωが求まります。

ωは点aの点cまわりの回転の角速度でもあり、点cから点aまでの長さ(Lcosθ)も
分かっているため、点aの速度は、大きさがωLcosθで鉛直下向き、となるかと思います。

いかがでしょうか。誤りなどご訂正頂ければと思います。

■なお、模範解答では、
やはり瞬間中心を求めて、gとその距離からVgとωの関係をもとめて
Vg = (L/2)ω
としているまでは同じなのですが、

運動エネルギー = 0.5m(Vg^2) + 0.5Ig(ω^2) = (1/6)m(Lω)^2

と記されており、Ig = (1/12)mL^2 で計算されれています。
これは、私の知る限り、重心を回転軸とした棒の回転の慣性モーメントであり、
模範解答では回転の中心が重心Gであると言っているのではないかと思っています(模範解答自体には
特にそのような記述はなく上の運動エネルギーの式が示されているだけです)。


いかがでしょうか。長くなってしまい申し訳御座いませんが、真剣に悩んでおりまして、
どうか宜しくお願いします。

「回転する棒のある瞬間の慣性モーメント」の質問画像

このQ&Aに関連する最新のQ&A

A 回答 (7件)

誤りはきわめて基礎的な部分にあります。



運動方程式を,重心運動と回転運動に(相対的に)独立に分ける場合,
「回転運動は,重心まわり」
なのです。したがって,慣性モーメントは重心まわりのものを使わなければなりません。

重心の運動は,重心の運動方程式(から得られるエネルギー原理)で独立に記述しているのですから,当然の話です。もちろん,重心は常に瞬間回転中心にはなっておらず動いています。したがって,もし瞬間回転中心まわりの運動を方程式に立てるならば,その中に重心運動を含んでしまうことになりますね? それでは重心運動と独立な回転を取り出したことにはならない(重心の運動エネルギーを2重にカウントしてしまう)のです。

ちなみに,回転軸をどこに置こうと回転の角速度は同じであることに留意して下さい。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

回答下さいましてありがとう御座います。

回答を拝読しまして、yokkun831様のおっしゃられている内容を理解できておらずにおります。すみません。

なんとなく、こうかなという思うことを申し上げますと、
回転の運動エネルギーを求める際に、棒の回転だけに注目しなければならないところ、
[重心から瞬間中心までの距離]と角速度から得られるいわば棒の重心の線速度まで回転の運動エネルギーに
加えてしまっている、ということでしょうか(図示できず、分かり辛くすみません)。

だとすると、私の解法から、重心の運動エネルギー: 0.5MVg^2
は除いて、

瞬間中心を軸とする、棒の重心の回転の運動エネルギー: 0.5Iω^2
だけを全運動エネルギーの項にすることで問題を解くことはできないでしょうか。
Iは先ほどと同様、平行軸の定理から求め、
I = Ig + m(L/2)2 = (ML^2)/12 + m(L/2)2 = (ML^2)/3
となり、これをつかって、全運動エネルギー = 0.5 x (ML^2)/3 x ω^2 
ということであります。
と思って、計算してみると、全運動エネルギー = (1/6)M(Lω)^2
となり、模範解答と同じになりました。

これは偶然でしょうか、それとも上記のyokkun831様の内容についての私の理解が正しかったと
判断してよいでしょうか。


>>ちなみに,回転軸をどこに置こうと回転の角速度は同じであることに留意して下さい。
なんと、そうなんですか。ならば瞬間中心を求める意味は一体どこにあるのでしょう。
瞬間中心は、対象の剛体中のどの点もその瞬間中心を軸として同じ角速度で回っている、
ということで定義されると思っていました。

この点がとても気になっています。ここでyokkun831様がおっしゃっていることは、
考える軸を、瞬間中心にしようとも、他の点(たとえば、a, b g どれでも)でも、角速度ωは
変わらない、ということでしょうか。これを証明する手立てが分からずにおります。
これがその通りだとすると、私の最初の解法で回転エネルギーを求める際の角速度にこのωが使え
納得がいくのですが。

お礼日時:2012/04/11 00:38

精読したところ,静止摩擦力の仕事に関する各回答の記述には誤りはありませんでした。

ここにお詫びして前言を撤回させていただきます。申し訳ありませんでした。

リンクを貼られたページで回答を試みて失敗し,こちらでだいぶジタバタしてしまいましたが,OKWaveで確認できたのでそちらにあらためて回答させていただきました。混乱させてごめんなさい。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

お詫びなど、こちらが恐縮してしまいます。
yokkun831様のおかげで、静止摩擦に関する議論が収束して結論がでてこの上なく助かりました。重ねて御礼申し上げます。

今後ともどうぞよろしくお願い致します。

お礼日時:2012/04/14 04:54

訂正です。




-f1が板にする仕事 + f1がコロにする仕事 + f2がコロにする仕事 = 0

の中にはコロを加速回転させる仕事も含まれますので,前2項の和が負であるというのは誤りでした。コロの速さをvとするとき,

-f1×2v + (f1×v + f1r×ω) = 0

ですから,f1が系にする仕事はゼロ。

-f2×v + f2r×ω = 0

より,f2が系にする仕事もゼロ。

つまり,それぞれの静止摩擦力が「系に」する仕事がゼロであるという結論は正しいものですね。
    • good
    • 0

残念ながら,さっと見たところ回答されたみなさんはきちんと解析されておらず,摩擦力は回転の加速方向であるとか,静止摩擦力がする仕事はゼロであるとか,初歩的限定的な条件のもとでのみ成立することを拡大適用されて,正確な結論にいたっていないようです。

解析は思ったより簡単でしたが,その結論を解析なしに定性的に予想するのは,様々な思い込みが邪魔をして,なかなか難しいものですね。

床から受ける摩擦力が回転加速方向と逆向きであることは,私にとっても意外でしたが,これは定量的に解析してようやく納得できるものです。

仕事については,計算してみればわかりますが

-f1が板にする仕事 + f1がコロにする仕事 + f2がコロにする仕事 = 0

になるということです。変形とすべりがなければ,力学的エネルギーが熱となって散逸する原因がありませんから,当然の帰結といえます。このことをもってよく「静止摩擦力は仕事をしない」と表現されたりしますが,個々の摩擦力の仕事は決してゼロではありませんから,誤解のないようにしなければなりません。

実は,前の2つの項の和が負であることは板の移動距離の方が大きいことからわかりますので,f2がコロにする仕事は正。つまり,個々の摩擦力がする仕事をきちんと調べれば,計算しなくてもf2の向きが進行方向であることは予想できたわけです。
    • good
    • 0

コロが1個の簡単な場合について解析してみました。



http://www14.atwiki.jp/yokkun/pages/570.html

なお,余談ですが仕事というのは単に

力×物体の移動距離 (ただし,力と移動方向が平行のとき)

であって,作用点が動かないから仕事はゼロとかいうことはありません。何かその類の回答内容がご紹介のページに見られたので,老婆心ながら付け加えておきます。一般に静止摩擦力が仕事をしないというのは誤りで,単に力学的エネルギーの散逸はないというだけです。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとう御座います。

お礼日時:2012/04/14 04:52

「もうひとつ」のご質問については,手順の誤りかご紹介のページで回答を書きこむことができませんでした。

なかなか単純ではなく難しい問題です。とりあえず動画のみつけてみます。シミュレーションでは,円盤が受ける摩擦力は上下で同一方向になっています.

    • good
    • 0
この回答へのお礼

yokkun831様、

いつも私の質問にお付き合い頂きありがとう御座います。
私の質問は時にとても基本的なことや当たり前(と思われていそうな)のことを含んでおりまして、ほかの回答者の方からは「そんな当たり前のことを聞くな」的な回答を頂く事もございます。yokkun831様はいつも真剣に私の質問をお読み下さり、明確に丁寧に優しくお答え下さる方でとても頼りにしております。件の静止摩擦のことについても、yokkun831様が回答下さらなかったら、ほかの回答者の方に呆れられて見放されていたかと思います。

yokkun831様のおかげて物理が益々面白くなり、そのおかげで多くの疑問に当たり、質問頻度が増えることも御座います。今後ともどうぞお付き合い下さいますととてもうれしく思います。

よろしくお願い致します。

お礼日時:2012/04/14 04:51

>瞬間中心を軸とする、棒の重心の回転の運動エネルギー: 0.5Iω^2だけを全運動エネルギーの項にすることで問題を解くことはできないでしょうか。



その理解でよいと思います。平行軸の定理の式から
Iω^2 = Igω^2 + M (L/2)^2ω^2
右辺第1項が重心まわりの回転のエネルギー,第2項が重心運動のエネルギーを表していますね?
まさに平行軸の定理はそのようにできているわけです。ですから,剛体の運動エネルギーは
(1) 重心まわりの回転エネルギー + 重心運動のエネルギー
(2) 瞬間回転中心まわりの回転エネルギー
のいずれで記述しても全く同じです。

>瞬間中心を求める意味は一体どこにあるのでしょう。

運動方程式が成立するのは,加速度をもたない座標系=慣性系のみです。たとえばa点から見た重心の運動はこの場合たまたま半径L/2,角速度ωで重心の速さは同じになりますが,向きが全然違います。もし,a点でなく棒上の半端な位置を基準にとれば,重心の速さも変わってしまいます。棒上の任意点は加速度を持ちますから,その点から見た運動は運動法則を満たさないのでエネルギー保存も保証されないのです(慣性力を考慮しなければならなくなる)。

もちろん,瞬間中心を求めたのは,重心の絶対速さVgを求めるのが目的だったわけです。瞬間中心を考えない方法もあります。水平右方向にx軸,鉛直下方向にy軸をとって重心位置を(x,y)とすると,

x = L cosθ/2
y = L sinθ/2
x' = -Lθ' sinθ/2
y' = Lθ' cosθ/2
Vg^2 = x'^2 + y'^2 = L^2θ'^2/4
∴Vg = Lω/2
    • good
    • 0
この回答へのお礼

yokkun831様、

回答下さりありがとう御座います。
とても勉強になりました。平行軸の定理をよく理解するきっかけにもなり重ねてお礼申し上げます。

実は私、もう一点質問をさせて頂いていることがありまして、やはり回転のお話で、
円盤が床を転がるケースでの静止摩擦力の向きについてです。
色々とお教え頂いておりまして、お願い申し上げるのは恐縮なのですが、
どうしても理解できず、どうかご意見、ヒントなど頂けないでしょうか。

「回転する円盤、摩擦の向きと摩擦のする仕事。なぜ」というタイトルでリンクはこちらです。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7414478.html

宜しくお願い致します。

お礼日時:2012/04/11 15:36

このQ&Aに関連する人気のQ&A

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q回転運動の運動エネルギーについて困っています。

回転運動の運動エネルギーについてよく分からないところがあり困っています。

回転運動の運動エネルギーについてよく分からないところがあり困っています.

問題は,写真に示すような長さl,質量mの一様な剛体棒の一端Oが速度vで水平に移動し,そのO点を中心に角速度(θ')で回転している.棒の運動エネルギーを次の中から選べ.ただし,棒の太さは長さに対して十分に細いものとする.

という問題で,解答は

(1/6)・m・l^2・(θ')^2 + (1/2)・m・v^2・ + (1/2)・m・l・v・(θ')・cosθ

です.解説には並進運動と回転運動とに分けて解説してあり、

[並進運動]
Tr= (1/2)・m・v^2 となるのは理解できます.

[回転運動]
剛体の回転中心Oにおける慣性モーメントIo=(1/3)・m・l^2
となるのは理解できるのですが,その後の 回転中心Oまわりの回転エネルギーToは,

To=(1/6)・m・l^2・(θ')^2 + (1/2)・m・l・v・(θ')・cosθ のところで,

なぜ第2項がでてくるのかが分かりません.

回転の運動エネルギーは
(1/2)・(Io)・(θ')^2なのに,なぜ第2項が出てくるのでしょうか.
どなたか助けてください.お願いします.

回転運動の運動エネルギーについてよく分からないところがあり困っています。

回転運動の運動エネルギーについてよく分からないところがあり困っています.

問題は,写真に示すような長さl,質量mの一様な剛体棒の一端Oが速度vで水平に移動し,そのO点を中心に角速度(θ')で回転している.棒の運動エネルギーを次の中から選べ.ただし,棒の太さは長さに対して十分に細いものとする.

という問題で,解答は

(1/6)・m・l^2・(θ')^2 + (1/2)・m・v^2・ + (1/2)・m・l・v・(θ')・cosθ

です.解説には並進運動と回...続きを読む

Aベストアンサー

この後は質問者さんのレスポンスを待ちたいと思いますが・・・・

>解答がこれを回転エネルギーの方に入れて並進と回転の分離ができているという表現をしているのはおかしいのです。

回転しない、つまり、角θを一定に保ったままの運動で現れない項を、「回転することによって生じてくる項」という意味で回転のエネルギーとしてまとめただけだと思いますが、そんなにおかしいですか?

#1にしたがって計算すれば、重心運動の運動エネルギー は

(1/2) M [ (V + (l/2)θ'cosθ)^2 + ((l/2)θ'sinθ)^2 ]

になります。このまま解釈すれば意味は明確です。

クロスタームと称しているものはこれの水平成分から出てくるもので、水平成分にはO点まわりの回転による成分とO点の並進による成分の二つが共に寄与しているので、そのクロスタームが出てくるのは当たり前です。

これを展開して分割し、

(1/2) M [ V^2 + V l θ'cosθ + (l^2/4)θ'^2(cosθ)^2 + (l^2/4)θ'^2(sinθ)^2 ]
=(1/2) M [ V^2 + V l θ'cosθ + (l^2/4)θ'^2 ]
=(1/2) M V^2 + (1/2) M V l θ'cosθ + (1/8) M l^2 θ'^2

この最後の項を回転のエネルギー(1/2)(1/12)Ml^2 θ'^2 = (1/24)M l^2 θ'^2 とあわせて

(1/8) M l^2 θ'^2 + (1/24)M l^2 θ'^2 = (1/2) [(1/3)Ml^2 ] θ'^2

と書き直してしまうから意味不明な項が残るんです。


速さVで動いている台から相対速度uで質量mの質点を打ちだしたときに、質点の運動エネルギーは

(1/2)m (V+u)^2 = (1/2) mV^2 + mVu + (1/2)mu^2

で、ここからmVuだけとり出してこのクロスタームにどういう意味があるかといわれても困るでしょう。
それと同じことです。

この後は質問者さんのレスポンスを待ちたいと思いますが・・・・

>解答がこれを回転エネルギーの方に入れて並進と回転の分離ができているという表現をしているのはおかしいのです。

回転しない、つまり、角θを一定に保ったままの運動で現れない項を、「回転することによって生じてくる項」という意味で回転のエネルギーとしてまとめただけだと思いますが、そんなにおかしいですか?

#1にしたがって計算すれば、重心運動の運動エネルギー は

(1/2) M [ (V + (l/2)θ'cosθ)^2 + ((l/2)θ'sinθ)^2 ]

になります。...続きを読む

Q円盤の慣性モーメントが求めれません。

面密度ρの一様な円盤の中心周りの慣性モーメント

J=(mR^2)/2
となるのですがどうしてなるのか分かりません。

よろしくお願いします!

Aベストアンサー

慣性モーメントの定義から入りましょう。
回転軸からrだけ離れた位置にある微小要素の慣性モーメントdJは次式で与えられます。
dJ=r^2dm (1)

ここで、dmは微小要素の質量です。
この円盤の慣性モーメントJは、円盤全域でdJを足し合わせれば(積分すれば)求まるわけです。
つまり、
J=∫dJ=∫r^2dm (2)

となるわけです。
ここで、dmは次のように表されます。
dm=ρdA (3)

ρは面密度、dAは円盤の微小要素の面積です。
次に、dAをrを使って表すことを考えましょう。
dA=(半径r+drの円の面積)-(半径rの円の面積) (4)

で求まります。実際にやってみます。
dA=π(r+dr)^2-πr^2
=π(r^2+2rdr+dr^2-r^2)
=π(2rdr+dr^2) (5)

となるんですが、drはめっちゃ小さいんで2乗の項は無視します。
dA=2πrdr (6)

ですね。この式(6)を式(3)に代入します。
dm=2πρrdr (7)

式(7)を式(2)に代入します。
J=∫r^2・2πρrdr
=2πρ∫r^3dr (8)

見にくいんで書きませんでしたが、rの積分区間は0~Rです。
回転軸から端っこまでですから♪
積分を実行すると、
J=(πρR^4)/2 (9)

になります。
ここで、円盤の質量mは次式で与えられます。
m=πρR^2 (10)

式(10)を式(9)に代入すれば出来上がりです♪
J=(mR^2)/2 (11)

慣性モーメントの定義から入りましょう。
回転軸からrだけ離れた位置にある微小要素の慣性モーメントdJは次式で与えられます。
dJ=r^2dm (1)

ここで、dmは微小要素の質量です。
この円盤の慣性モーメントJは、円盤全域でdJを足し合わせれば(積分すれば)求まるわけです。
つまり、
J=∫dJ=∫r^2dm (2)

となるわけです。
ここで、dmは次のように表されます。
dm=ρdA (3)

ρは面密度、dAは円盤の微小要素の面積です。
次に、dAをrを使って表すことを考えましょう。
dA=(半径r+drの円の面積)-(半径rの円の面積) (4)

...続きを読む

Q重心の慣性モーメント

質量がM、長さが2aの棒の慣性モーメントは重心がどこにあっても1/3Ma^2ですか?違ければこの場合の慣性モーメントの求め方を教えてください。

Aベストアンサー

重心が異なれば、慣性モーメントの値は違ってきます。
ですが、もしかしたら回転軸の間違いではないでしょうか?
1/3Ma^2という値は、棒の中心を回転軸にとったときの
慣性モーメントの値です。これが、棒の端を回転軸にとるなら値は違ってきます。
慣性モーメントIは,棒の場合、密度ρ(r)として
I=∫ρ(r)r^2drで与えられます。密度が一様ならば、
仮に棒の中心を軸に取ったとして
I=∫ρr^2dr[r=-a~a]=(ρ/3){a^3-(-a^3)}
=2/3ρa^3=(2aρ)/3・a^2=1/3Ma^2です。

棒の端を回転軸にとるなら
I=∫ρr^2dr[r=0~2a]です。

"重心がどこにあっても"というのは、密度が一様でない
ことに相当しますけど、そのときはρ(r)が与えられる
はずです。そしたらI=∫ρr^2drで計算できます。
このrは、回転軸からどれだけ離れているか、をあらわすものです。回転軸から距離rのところの
微小質量ρ(r)drに、r^2をかけて、それをすべての領域
で加え合わせたものというイメージです。

重心が異なれば、慣性モーメントの値は違ってきます。
ですが、もしかしたら回転軸の間違いではないでしょうか?
1/3Ma^2という値は、棒の中心を回転軸にとったときの
慣性モーメントの値です。これが、棒の端を回転軸にとるなら値は違ってきます。
慣性モーメントIは,棒の場合、密度ρ(r)として
I=∫ρ(r)r^2drで与えられます。密度が一様ならば、
仮に棒の中心を軸に取ったとして
I=∫ρr^2dr[r=-a~a]=(ρ/3){a^3-(-a^3)}
=2/3ρa^3=(2aρ)/3・a^2=1/3Ma^2です。

棒の端を回転軸にとるなら
I=∫ρr^2dr[r=0~...続きを読む

Q断面二次モーメントと慣性モーメント

現在物体の慣性モーメントを求めようとしています.

そこで疑問が生じたので質問します.

材料力学では断面二次モーメント=慣性モーメント
となっています.

ですが慣性モーメントって∫r^2 dmですよね?

次元が全く違うしなぜ慣性モーメントなんでしょうか?

また慣性モーメントと断面二次モーメントの関係があれば教えてください

よろしくお願いします.

Aベストアンサー

そうですね。#3の説明は,理解するには良い方法と思いますが,厳密に言うと違います。

慣性モーメントの定義を分かりやすく簡単に説明すると,慣性力は物体が現在の状態を維持しようとする力,つまり,物体の運動や変形に抵抗する力の事です。モーメントというのは回転に関する運動率,つまり,回転に関する係数です。合わせて,回転に対する抵抗係数が慣性モーメントです。

係数ですから次元に関係はありません。と言うよりも,適用される状況によって異なった次元を持ってもかまわないと言うことです。

そこで,慣性モーメントとは,動力学では,回転運動に対する抵抗係数で,静力学では,回転変形(曲げ変形)に対する抵抗係数です。

J=∫r^2 dmやI=∫r^2 dAという算定式は,一般的に解釈すれば,「慣性モーメントは,物体が物体の任意の軸に関して,物体内の微小部分と軸から微小部分までの距離の2乗との積を全物体について合算した値である」と定義できると思います。
質量慣性モーメントの場合,この微小部分が微小質量であり,断面2次モーメントの場合微小部分が微小断面積になります。

そこで,
>「材料力学では」断面二次モーメント=慣性モーメント
という定義がされているものと思いますが,ここでは,「材料力学では」と言う条件が重要な部分だと思います。

でも,こんな説明をしている書籍を見たことはありません。断定的な説明をしていますが,私の理解している内容を文章にしただけですので,ほぼ合っていると思いますが,多少の違いがあるかもしれません。他の専門家の意見も聞いて頂くと良いと思います。

そうですね。#3の説明は,理解するには良い方法と思いますが,厳密に言うと違います。

慣性モーメントの定義を分かりやすく簡単に説明すると,慣性力は物体が現在の状態を維持しようとする力,つまり,物体の運動や変形に抵抗する力の事です。モーメントというのは回転に関する運動率,つまり,回転に関する係数です。合わせて,回転に対する抵抗係数が慣性モーメントです。

係数ですから次元に関係はありません。と言うよりも,適用される状況によって異なった次元を持ってもかまわないと言うことです。
...続きを読む

Q変位電流ってなんですか!!!???

現在マクスウェルの方程式を勉強しています。

そこでアンペール・マクスウェルの方程式で、変位電流というものがでてきました。しかし、その教科書ではその名前のことしか教えてくれず、調べてもこれと言ったいいものがありません。

式の導出はいいから、結局変位電流ってなんなの?といった具合です。


教えていただけませんか?具体的にどういうものなのか、どういったときに見られる現象なのか?教えていただきたいです。

ちなみにいくつか調べた結果、変位電流は「実際には存在しない電流である」や「コンデンサで交流を流したときにでるものである」という情報を入手しています。


矛盾していて困っています。

Aベストアンサー

 平行板コンデンサーがあって交流電流が流れているとします。コンデンサーにつながる導線には電流(=電荷の移動)があり、導線の周囲には変動する磁場が生じます。コンデンサーの極板の間には移動する電荷が存在しないので電流がありませんが、では、極板間の空間(の周囲)には磁場は生じないのでしょうか。

 そこだけ磁場が発生しない、というのは不自然で、やはりそこにも磁場が生じるはずだと考え、磁場を生じる原因として電場の変化があると考えられたのだと思います。

 磁場を生じるので電流と同じ働きをするが、電荷の移動である普通の電流とは違う、ということで「変位電流」というような呼び方をするようです。
 ※なぜ位置の変化を表す「変位」という言い方をするのかは私にはよくわかりません。識者の回答を待ちましょう。

http://www.cqpub.co.jp/dwm/Contents/0083/dwm008301420.pdf

Q鎖を引き上げる運動

ひとまとまりに置かれた鎖の一端を手で持って引き上げる運動を考える。鎖の綿密度をλ、重力加速度の大きさをg、鉛直上方をz軸の正の向きとする。

(1)引き上げられた部分の長さがzで静止しているとき、鎖を支えている手が及ぼしている力はいくらか?

(2)一方、鎖の先端位置(手の位置)がz、速度がv、加速度がaのとき手が及ぼしている力Fを求めよ。

(3)次に、一定の速度v_0で引き上げる場合を考える。t=0に引き上げ始めた(z(0)=0)とする。手の高さがzになるまでに手がした仕事W(z)と、その時の鎖の力学的エネルギーE(z)を求めよ。

(4)また、W(z)-E(z)を求め、これが何に対応するか説明せよ。

という問題なのですが、(1)は力のつりあいから λzg だとわかるのですが、(2)がどうやったらいいか分かりません。どう解くのでしょうか?
また、(3)のW(z)は(2)のFをz=0→zで積分で出ると思うのですが、力学的エネルギーはどうしたらいいのでしょうか?位置エネルギーも運動エネルギーも質量mの部分をどう表したらよいか分かりません。
そして、(4)はどうなるのでしょうか?

どうか、よろしくお願いします。

ひとまとまりに置かれた鎖の一端を手で持って引き上げる運動を考える。鎖の綿密度をλ、重力加速度の大きさをg、鉛直上方をz軸の正の向きとする。

(1)引き上げられた部分の長さがzで静止しているとき、鎖を支えている手が及ぼしている力はいくらか?

(2)一方、鎖の先端位置(手の位置)がz、速度がv、加速度がaのとき手が及ぼしている力Fを求めよ。

(3)次に、一定の速度v_0で引き上げる場合を考える。t=0に引き上げ始めた(z(0)=0)とする。手の高さがzになるまでに手がした仕事W(z)と、その時の鎖の力学的エネルギ...続きを読む

Aベストアンサー

(2)
鎖の先端の高さがzのとき、宙に浮いている鎖の質量はλzになります。
力は運動量を時間で微分したものなので、Fから鎖にかかる重力λzgを
差し引いたものが運動量の時間微分になります。運動量はλzvですから、
F-λzg=d(λzv)/dt
     =λ(z・dv/dt+v・dz/dt)
     =λ(za+v^2)
よって
F=λ(zg+za+v^2)

(3)
速度が一定なので上記においてa=0、かつ速度がv0なので、Fは
F=λ(zg+v0^2)
変数としての鎖先端の高さをhとします。
W(z)=∫Fdh (積分範囲は0からz)
    =λ∫(hg+v^2)dh (積分範囲は同上)
    =λ[gh^2/2+hv0^2] (範囲は同上)
    =λ(gz^2/2+zv0^2)

E(z)は質量λzの鎖の位置エネルギーと運動エネルギーを考えれば
よくて、前者はλgz^2/2 (2で割っているのは、宙に浮いている鎖の
重心がz/2の高さにあるからです) であり、後者はλzv0^2/2です。
よって
E(z)=λ(gz^2+zv0^2)/2

(4)
一言でいうと、質量が変化するからW(z)とE(z)が同じにならないということ
です。下記はそのものズバリの問題ではありませんが、参考にはなります。
例題7と8を見て下さい。
https://online.lec-jp.com/images/goods_book/KL/KL10057.pdf

(2)
鎖の先端の高さがzのとき、宙に浮いている鎖の質量はλzになります。
力は運動量を時間で微分したものなので、Fから鎖にかかる重力λzgを
差し引いたものが運動量の時間微分になります。運動量はλzvですから、
F-λzg=d(λzv)/dt
     =λ(z・dv/dt+v・dz/dt)
     =λ(za+v^2)
よって
F=λ(zg+za+v^2)

(3)
速度が一定なので上記においてa=0、かつ速度がv0なので、Fは
F=λ(zg+v0^2)
変数としての鎖先端の高さをhとします...続きを読む

Q剛体振り子の周期

剛体振り子の運動方程式 I(θの2回微分)=-Mghθ
から、普通に
周期T=2π√(I/Mgh)
と教科書に書いてあるのですけど、この周期Tはどうやって求めたのでしょう?計算の仕方がわからないので教えてください☆お願いします!
T=2π/ωと、ω=(θの微分)を用いるのはわかるんですけど・・・。

Aベストアンサー

これはθに関する微分方程式を解かなければいけません。
すなわち
dθ^2/dt^2 = -Aθ
(A=Mgh/I)
これは、よく教科書に書いてある形の微分方程式なのですが、解き方をここに書くのは、ちょっと面倒なのでご勘弁ください。

代わりに、方程式から周期を求める簡易な方法を紹介します。

θはtの三角関数になることは、わかっているものとします。

そうすると
θ = a・sin(ωt+c)
tで一回微分すると
dθ/dt = ab・cos(ωt+c)
もう1回tで微分すると
I = dθ^2/dt^2 = -a・ω^2・sin(ωt+c)

これらを当初の方程式に代入すれば
-a・ω^2・sin(ωt+c) = -A・a・sin(ωt+c)
よって
ω=√A=√(Mgh/I)
T=2π/ω=2π√(I/Mgh)

Q角運動量保存の法則を中学生にもわかるように教えてください

角運動量保存の法則がいまいちよくわかりません。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A7%92%E9%81%8B%E5%8B%95%E9%87%8F%E4%BF%9D%E5%AD%98%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87
ここで説明されているフィギュアスケートの例もよくわかりません。
わかりやすく教えてください。厳密な意味ではなくて、なんとなくこんな
意味だよって感じで教えてくれるとうれしいです。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

角運動量保存則は、
角運動量:L、慣性モーメント:I、角速度:ωとすると、
L = I・ω = 一定
で表されます(定義)。

慣性モーメントは、
I=∫(r^2)dm
で表されますが、中学生相手だと簡単のために
I=m・r^2 (m:質量 , r:回転半径)
などとしたほうが良いでしょう。

この式より、
rが小さくなれば、Iは小さくなり、
rが大きくなれば、Iは大きくなる、ことが分かります。

さらに角運動量 「L= I・ω =一定」 のため、

Iが小さくなれば(rが小さくなれば)、ωは大きくなり、
Iが大きくなれば(rが大きくなれば)、ωは小さくなる。

フィギュアスケートの選手が手を上に上げて(rを小さくして)、回転すると、高回転となる(ωが大きくなる)わけです。
この程度なら中学生でも理解できるのではないでしょうか?

Q剛体棒の振動

均質な長さL、重さMの剛体の棒に、端からxのところに(0<x<2/L)
穴を空け、微細振動θをさせるとき。

(1)慣性モーメントの求め方

(2)微細振動の周期の求め方

を教えてください。
(1)は
短い方と長い方に分割して
I = M・(x/L)・(x/2)^2 + M・((L-x)/L)・((L-x)/2)^2
の合計で良いでしょうか?

(2)は微細角度θを動かしたとき
(M・(x/L))・(x/2)g(1-cosθ)+((L-x)/2) + M・((L-x)/L)・((L-x)/2)^2
g(1-cosθ)

1/2I(dθ/dt)^2
が釣り合うことを考えれば良いのでしょうか?

穴の短端・長端の間の正負の取り方を含め、わからないことが多いです。
このような問題を見たことのある方、ご教授をお願いします。

Aベストアンサー

問題の振子は固定軸の周りの回転運動となりますから、運動方程式はモーメントの釣り合いの方程式となります。
鉛直上方にy軸をとり、y軸と棒のなす角をθとおきます。剛体の棒の固定軸周りの慣性モーメントをI、角速度をω(=dθ/dt)、トルクをNとするとニュートンの運動方程式はI(dω/dt)=I(d/dt(dθ/dt))=Nとなります。方程式の左辺ですが、慣性モーメントIは平行軸の定理よりI=Ig+MR^2と書けます(#1のURL参照)。Igは重心周りの慣性モーメントでIg=(1/12)ML^2。Rは固定軸から重心までの距離で今の場合R=(L/2-x)となります。棒は重心点に鉛直下方にMgの力(力の方向はマイナス方向であることに注意)を受けています。従って棒の受けるトルクNはN=Rsinθ・(-Mg)となります。今θは微小とするとsinθ≒θとなりますので方程式はd^2θ/dt^2=-(MgR/I)θ=k^2θとなります。これはよく見る単振動の微分方程式ですね。後はご自分で是非フォローしてみてください。

Q導体表面の電界

現在電磁気学を勉強している者です。
今回は、導体表面の電界について質問させて頂きます。
演習書を解いていたところ、下のようにわからなくなりました。

問題について書くと、

(某問題1)平行板形コンデンサの二枚の平行導体板に面密度±σが一様に分布している。。。。。以下省略。

で、σのつくる電界はガウスの法則から、
E=σ/ε0

(某問題2)接地された無限に広い平面の導体から距離aの位置に電気量Qの点電荷がある。。。。。以下省略。

で、解いていく最中、この平面の表面に誘起される面密度をσとし、σのつくる電界をガウスの法則で求めるが、解答をみると
E=σ/2ε0

(某問題3)無限に広い導体平面の上に一様な面密度σの電荷が分布している。。。。。。以下省略。

で、解答中、σによる電界は平面に垂直でその大きさは、
E=σ/ε0

(某問題4)液体の誘電体があり、その液中に導体の板が二枚がある距離をもって向き合っている。そして、導体間に電位差Vがある。2導体の引き合う力を求めよ。

で、+電極の真電荷密度をσ、それに接する液体面の分極電荷密度
をσpとすると、-電極にはそれぞれ、-σ、-σpの電荷が有る。+電極の力を求めるには-電極の-σと-σpがσに及ぼす力を考えればよい。-σと-σpだけがつくる電界は
E=(σ+σp)/2ε0

自分なりに推測したところ、

某問題1と3は、表面に垂直な微小円筒を仮想閉曲面とし、ガウスの法則を適用する。
導体内部では電界はゼロで、導体の外部に出ている閉曲面の部分を考えればよく、また、側面はE・dS=0。
従って、積分が残るのは上面だけであり、E=σ/ε0

某問題2と4では、微小円筒の仮想閉曲面が平面を貫いており、上の1と3における積分が上面と下面になり、
E=σ/2ε0

と考えました。

私の質問は、
・某問題1~4のEの求め方は私の推測で正しいでしょうか?
次に、私の推測が正しいかどうかわかりませんが、
・なぜ、2と4の問題では、下面の積分も残るのでしょうか?
 問題の条件文はそのまま上に書きましたが、私が何度読んでも、4つとも同じ条件に見えてしまいます。
この見極め方を教えて頂きたいです。

よろしくお願いします。

現在電磁気学を勉強している者です。
今回は、導体表面の電界について質問させて頂きます。
演習書を解いていたところ、下のようにわからなくなりました。

問題について書くと、

(某問題1)平行板形コンデンサの二枚の平行導体板に面密度±σが一様に分布している。。。。。以下省略。

で、σのつくる電界はガウスの法則から、
E=σ/ε0

(某問題2)接地された無限に広い平面の導体から距離aの位置に電気量Qの点電荷がある。。。。。以下省略。

で、解いていく最中、この平面の表面に誘起される面密度...続きを読む

Aベストアンサー

こんにちは。
あなたの疑問は、おそらく次の違いを明確にしていないことから
生じたものではないでしょうか。
導体平板が1枚か、2枚か、によって、その周囲にできる
電場の様子が違います。
(1)1枚の無限に広がった平板導体の場合
     E=σ/2ε
  ___________
|_+__+__+__+__|  電荷の面密度は+σとする。

     E=σ/2ε

(2)正負電荷を帯びたの2枚の無限に広い平行平板導体の場合
     E=0
  ___________
|_+__+__+__+__|  電荷の面密度は+σとする。

     E=σ/ε
  ___________
|_-__-__-__-__|  電荷の面密度は-σとする。

     E=0

(1)の電場の強さはガウスの法則で求まります。
それはあなたが推測された通りです。

(2)では、+の平板が作る電場と、-の平板が作る電場とを
重ね合わせることによって、そこに生じている電場を求めます。
2つの平板の間では、2つの電場は向きが同じなので、
強めあう重なりになります。
2つの平板の外側では、2つの電場は向きが逆なので、
弱めあう重なりになります。

こんにちは。
あなたの疑問は、おそらく次の違いを明確にしていないことから
生じたものではないでしょうか。
導体平板が1枚か、2枚か、によって、その周囲にできる
電場の様子が違います。
(1)1枚の無限に広がった平板導体の場合
     E=σ/2ε
  ___________
|_+__+__+__+__|  電荷の面密度は+σとする。

     E=σ/2ε

(2)正負電荷を帯びたの2枚の無限に広い平行平板導体の場合
     E=0
  ___________
|_+__+__+...続きを読む


人気Q&Aランキング