瞬間中心を使って速度は求められるけど加速度は求められない理由。感覚的には分かるのですが・・・

こんにちは、どうぞ宜しくお願いします。

速度、加速度、瞬間中心のことで悩んでおります。

添付の画像をご覧ください。今、ある瞬間の剛体中のＡとＢ点の速度の向きが分かっているとします。この場合、両点を通り、これらの速度に垂直な線を描くと、その交点が瞬間中心Cになります。
そして、この瞬間、剛体はCを中心として回転しているとみなせます。
もし、例えば、Aの速度について向きだけでなく大きさもわかれば、その剛体の角速度ωを求めることができます。このωを使えば、剛体中の任意の点の速度を、瞬間中心Cからその任意点の距離を使って求めることができます。

ここまではいいのですが、「瞬間中心を使って速度は求められるが加速度は求められない」と習いました。確かに、角加速度αは不明なので、回転の接線方向の加速度は不明ですが、半径方向（任意点から瞬間中心の方法）の加速度はもとめられないのでしょうか。任意点からCまでの距離をRとすれば、ωR^2で半径方向の加速度になるかと思うのですが、これは正しくないのでしょうか。

「瞬間中心は固定点ではないので加速度は求められない」という説明を聞いたことがありますが、ピンときません。「剛体はCを中心として回転している」ということからすると、半径方向の加速度はωR^2でいいと思ってしまいます。

感覚的でない（数学的？）説明をしていただけないでしょうか。
語彙や間違っていたり、説明が不十分なところがあるかも知れませんが、その際は言って頂ければ訂正いたしますので、どうかよろしくお願いします。とても悩んでおりますが、どうしても説明ができずあがいております。

No.8 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/10/04 13:08

＞「瞬間中心」は (vt, v/ω)になります。

ああ、やっぱりぼけてますね。
「瞬間中心」は (x, v/ω) (x は円盤の中心のx座標)

で、私は何を言いたかったかというと、瞬間中心は速度のみで決まり、
系全体の並進運動の加速度とは無関係である例を示したかっただけなんです。
つまり瞬間中心と角速度だけでは加速度は「全く」決まりません。

No.7 回答者： chiha2525 回答日時： 2015/10/04 00:26

No.6さんに近いのですが、簡単に言えば、どのような加減速をしていようとも、その瞬間に同じ速度のものを用意することができる、ということです。

No.6 回答者： スチールウール 回答日時： 2015/10/03 18:22

回転中心が分かったとしても、その後どういう速度変化をするのか分からないので他の方が言うように無理です

例えば、ある瞬間で時速30kmで走行している車があったとします
この情報からだけでは、信号で止まろうと減速してる(加速度マイナス)のか、制限速度30kmで走っている(加速度0)のか、止まってところから加速している最中(加速度正)なのかどれか分かりません
ですので、加速度(速度の時間変化)はある一瞬のデータからは基本求まりません(束縛条件があればこの限りではないです)

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/10/03 16:45

もうちょっと具体的に。

2次元で考えます。
剛体の円盤が円盤の中心を垂直に貫く線を軸に角速度ωで反時計回りに回転し、
円盤は XY平面上を X 方向へ、円の中心が x軸に沿って速度v 動いているとします。

t=0 の時 円の中心位置が (0, 0) だとすると
すると「瞬間中心」は (vt, v/ω)になります。
#これは地道に計算すれば出てきます。
つまり「瞬間中心」は円の中心の上方 v/ω にあり、円の進行方向とは反時計回り90度の方向にあります。

質問者様の感覚では、 (vt, v/ω)から円盤上の任意の点へのベクトル方向の任意の点加速度は
(vt, v/ω)から円盤上の任意の点への距離をRとするとRω^2 になるということですが

(vt, v/ω)から円盤上の任意の点(r)へのベクトルを b としましょう。

b = r - (vt, v/ω)

計算するまでもなく、円の中心の加速度を a とすると、円盤上の任意の点の加速度には
この a が加わりますから、ｂ方向の加速度は、aとbが垂直でない限り影響を受けます。

ωに時間変動があるならさらに複雑な話になるでしょう。

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2015/10/03 12:27

No.3です。

時間ができたので、少し詳しく。

点Ｃから見た点Ａの座標（ベクトル）を Ra、点Ｃから見た点Ｂの座標（ベクトル）を Rb、点Ａの速度（ベクトル）を Va、点Ｂの速度（ベクトル）を Vb としましょう。

微小時間 Δt 後の点Ａの座標（ベクトル）を Ra2、微小時間 Δt 後の点Ｂの座標（ベクトル）を Rb2とすると、
　　Va = (Ra2 - Ra) / Δt
　　Vb = (Rb2 - Rb) / Δt
です。

そのときの点Ｃを中心とした角速度を ω とすれば
　　Ra2 - Ra = Ra*ω*Δt　　　（１）
　　Rb2 - Rb = Rb*ω*Δt　　　（２）
と書けます。
　つまり
　　Va = Ra*ω*Δt / Δt = Ra*ω
　　Vb = Rb*ω*Δt / Δt = Rb*ω

加速度は、これを時間で微分したものですから、
　　Aa = d(Ra*ω) / dt = ω * d(Ra) / dt + Ra * dω/dt
　　Ab = d(Rb*ω) / dt = ω * d(Rb) / dt + Ra * dω/dt

回転軸固定の回転運動の場合には、
　　d(Ra) / dt = 0, d(Rb) / dt = 0
ですが、お示しの問題の場合には、点Ｃ自体がどのように運動するのか分からないので、一般には
　　d(Ra) / dt ≠ 0, d(Rb) / dt ≠ 0
です。

d(Ra) / dt 、d(Rb) / dt の項が求まるのであれば加速度は求まると思いますが、「これらの速度に垂直な線を描くと、その交点が瞬間中心C」ということであれば、d(Ra) / dt 、d(Rb) / dt は求まりません。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2015/10/03 10:39

「加速度」は「速度の時間変化」ですから、「瞬間」だけでは定義できません。

　「中心点Ｃの位置、速度に変化がない」という特殊条件、つまり「Ｃを中心とした回転方向の加速度（外力）しかない」という条件で考えれば求められると思いますが、「点Ｃが動く」という一般条件では求められないでしょう。

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/10/03 10:01

>AとBの角速度は一致すると学習しました

すいません、確かに一致しますね。最近ボケてます。

速度をそのままに系全体の並進運動の加速度を任意に
変えられますから、半径方向も変化してしまうと
思います。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2015/10/03 08:46

>この瞬間、剛体はCを中心として回転しているとみなせます。

それはムチャです。例えば
・AとBの角速度は一致しますか?

この回答へのお礼

tknakamuri様、回答下さりありがとう御座います。
AとBの角速度は一致すると学習しました。
http://okwave.jp/qa/q7414368.html

お礼日時：2015/10/03 08:57