物理の力学の問題です

Question

物理力学の問題です。

実際にある試験出題された問題です。

(問題)

添付画像中の(a)のように、摩擦のない水平な床の上に置かれた質量M、長さ2Lの板の左端に質量mの人が立って静止している。この人が板の右端まで歩いて停止したとき(図(b))、板はxだけ左に動いた。xはどのように表されるか。ただし、板は幅、厚さ、材質ともに一様で、板の重心Gは中心にあるものとする。また、板の上面と人の間には摩擦力が働くものとする。

(解答)

2mL / (M + m )

以上です。

私は、運動方程式すらたてられませんでした。

解き方の分かる方おられましたら教えてください。

よろしくお願いします。

Tann3 · Accepted Answer

No.1さんで正解で、何の問題もないのですが、もう少し簡単な解き方があります。

この場合、「人＋板」の閉じた系を考えると、外からは何の力も仕事もされていません。従って、「人＋板」全体では何の変化もなく、重心位置は移動しません。
　つまり、最初に「左端に人が立っているときの重心位置」と、最終的な「右端に人が立っているときの重心位置」は移動していない、ということから解けばよいのです。

最初の「左端に人が立っているときの重心位置」は、Ｇの位置から左に　mL / (M + m )　の位置です。
　最後の「右端に人が立っているときの重心位置」は、Ｇの位置から右に　mL / (M + m )　の位置です。
　（Ｇを原点として左側を「正」の座標系とすれば、　－mL / (M + m )　の位置）

外から見れば、この位置は変わっていないので、板の移動量は
　　　mL / (M + m )　ー　［－mL / (M + m )　］
　　＝２mL / (M + m )　
ということです。

nolaneco · Answer

まず人が歩くときに何が起こるかを考えます。
前に進むので足の底には逆方向の摩擦力がかかります。
イメージが付きやすいように進行方向を正として「－Ｆ」と表します。
この問題で考える力は、これが全てです。

次に人についての運動方程式を立てます。
加速度を　aとして、
-F = ma 　・・・(1)

次に全体についての運動方程式を立てます。
全体と言うのは人と板です。
加速度を　a'　として
-F = (M+m)a'　・・・(2)

はじめに言ったように力は摩擦力（-F)だけですのでこうなります。

(1)と(2)から
ma=(M+m)a' ・・・(3)

ここで、加速度a、速度v、距離lの関係は

v= a0t + at
l = v0t + 1/2 at^2 
(v0は初速）
ですね。

今回は初速０ですので、l=1/2 at^2 となります。
これをつかって(3)の加速度を距離に変えます。
人の歩いた距離は２Ｌですので

2L = 1/2 a t^2 ・・・(4)

全体の動いた距離は　x ですので

x = 1/2 a' t^2 ・・・(5)

(4)(5)を(3)に代入しますと

2mL = (M+m)x ・・・(6)

したがって

x = 2mL / (M+m)

なかなか大変な問題ですね。さらっと解いたように
見せかけてますが苦労しました。自分も昔こういうの苦手でした。

Tann3 · Answer

No.2です。No.1さんの「お礼」に書かれていることについて。

（１）今回の問題はなぜ ( M + m )a´ = -Fとしなくてはならないのか？　Ma´ = -Fではなぜ解けないのか？

No.2にも書いたとおり、この問題の場合には外力がありませんので　F＝０　です。
　従って、A、Bそれぞれの加速度をa1、a2、質量をm1、m2、AとBの間の摩擦力をf、BとCの摩擦力をf´としたとき

Aの運動方程式：m1a1 = - f
　Bの運動方程式： (m1 + m2)a2 = f - f´

です。Bの運動方程式では、Bの上にAが乗っているので質量は「A+B」の質量であることに注意しましょう。

ここで、板と床との間の摩擦は考えない（摩擦力はゼロ）と仮定していると思うので、 f´＝０。従って、

Aの運動方程式：m1a1 = - f
　Bの運動方程式：  (m1 + m2)a2  = f

これから、

m1a1 =   (m1 + m2)a2

これがNo.1さんの（３）式です。
　これ以降は省略。

「Ma´ = -Fではなぜ解けないのか？」とおっしゃっている「Ｆ」は、この問題では外力「Ｆ」ではなく「摩擦力 f」でなければなりません。

（２）上の人が歩くと下の板が動くのになぜ 2L 歩いたことになるのか？

例えば、外の静止している人から見て、上の人が右にＬだけ移動し、下の板が左にＬだけ移動すれば、板を基準にすれば人は右方向に「２Ｌ」歩いたことになりますよね？
　板の上の人は、外の静止している人から見て、留まってはおらず、右に移動しています。留まっているのは、「人＋板」の合成質量の重心です。
　例えば、人と板の質量が同じであれば、人が板の上をある速さで右に歩くと、外から見ると人は1/2の速さで右に、板は1/2の速さで左に動くことになります。

エスカレーターの上を人が歩いて位置が変わらず、その間にエスカレータが３ｍ移動していれば、人はエスカレータ上を３ｍ歩いたことになりますよね？
　エスカレーターの上を人が歩いて１ｍ進み、その間にエスカレータが３ｍ移動していれば、人はエスカレータ上を４ｍ歩いたことになりますよね？

tekcycle · Answer

一つの問題を解決するというのも大事ですが、
原則的に、詳しい解答解説の無い教材を、独学で使ってはいけません。
過去問にも当てはまります。
過去問の場合は、解けなかったらそれが過去問からのメッセージです。
大事なのは、じゃぁ何をすればできるようになるか、でしょう。
勿論、この問題を解決するというのも大事ですが、
　1.運動方程式が立てられない、
　2.それ以前に、日常的な物理現象が見えていない、
　3.おそらく、日常的な物理現象が公式や教科書参考書の記述や基礎問題の通りに見えていない、
ことが根本にありませんかね？
本当にたまたまこの問題だけが解けないのであれば良いのですが、それは私には判りません。
確率で言えば、高い確率で、他のところにも穴が空いているだろうと見ますが如何でしょう。
特に3.は、どの問題にも効いてきます。
物理の基礎問題とそのとき方を闇雲に覚えただけだとそうなるでしょうね。
基礎問題がそのまんま出てくれないと、解けない。
体系的に対処する必要が無いでしょうか。

Tann3 · Answer

No.2＆3です。No.3のお礼に書かれたことについて。

＞(1)なぜ下の物体の運動方程式が ( M + m )a´ = ・・・でないと解けないのか？
＞　私が今まで解いてきた問題は今回のように重ねられた物体で、上に乗っている物体に外力をかけたとき、上に乗っている物体が動かずに、下の物体と一体となって動いたときは (M+m)a・・・の式を立て、上の物体が下の物体に対して滑っている場合は ma = ・・・、Ma = ・・・の二式をたてて解いていました。

上のものが、下の物体から「浮いていて」、何らの重力で押しつける力が働いていなければそれでもよいでしょう。でも、上の物体は、明らかに下の物体を「mg」(gは重力加速度)で押していますよね。摩擦力も、動摩擦係数をμとして、（動摩擦力）＝μmg　ですから、「重力」が元になって生じていますよね。

質問者さんは、宇宙空間にぽっかりと浮いている2つの物体の運動しか考慮していないようです。

＞(2)a、a´の値は誰?（人、板、孤立系内の静止した人、孤立系外)から見た値なのか

「a」、「a´」は加速度ですから、等速運動をしている「板の上」でも、「外部の静止した地上（＝床の上に静止している）」でも、どちらでも同じです。積分して「速度」にしたときに、初期条件としてどのような条件を与えるかで変わります。

No.1さんの説明は、その意味では「板＋人」の重心を原点とした座標を基準にしていると思います。

＞人についての運動方程式を立てます。
＞加速度を　aとして、
＞-F = ma 　・・・(1)

は、「人が、靴裏の摩擦力を介して、板を後ろに蹴っている力 F」（-F はその反力で、板が人を押す力）によって、「上の物体＝人」の運動方程式です。（座標は、上に書いたようにどこを基準にしてもよいのですが、「板＋人」の重心を基準にした座標とするのが分かりやすい）

＞次に全体についての運動方程式を立てます。
＞全体と言うのは人と板です。
＞加速度を　a'　として
＞-F = (M+m)a'　・・・(2)

これは、（１）の「人が、靴裏の摩擦力を介して、板を後ろに蹴っている力 F」で、「板（人の質量も載せている）」がどう動くかの運動方程式です。（板の運動とは「人の質量も載せた板」であることがポイントです！　板に対して人が止まっていようが動いていようが、質量には関係ありません）
　この座標も、上に書いたようにどこを基準にしてもよいのですが、（１）と同様に「板＋人」の重心を基準にした座標とするのが分かりやすいでしょう。

（補足）
　追加のご質問の内容から、上にはそう書きましたが、この場合の「運動方程式」とはどういうことか考えてみましょう。

実は「人が板の上を歩いている間、力 F が連続してかかっている」わけではありません。（それだと等加速度運動なので、板に対して人の速度がどんどん速くなります）
　この場合には、歩き始めに瞬間的に「力 F 」がかかり、板の右端で止まるときに逆方向に「力 -F 」がかかる、と考えるべきで、その間、人は等速運動しているということです。つまり、人が歩き始めると板は床に対して動き始め、歩いている間「板」は一定速度で動き、人が停止するときに逆方向の力が働いて板は床に対して止まるということです。

このように、「板」が床に対してどれだけの速度で、どれだけの時間動くか、物理的に言えば「板の変位を求める」のが本来の求め方でしょう。その場合、人が板に対してどれだけの速度で歩くのか（従って、板の左端から右端まで何秒で歩くか）ということもパラメータとしては必要になります。
（人と板との間には「すべり」がなく、板と床との間には「摩擦」がない、という理想条件を考えると、経路によらず答は一致しますが）

ですから、「力」自体は「歩き始め」と「止まる」ときで相殺してしまい、結局は「人＋板」の重心（これは静止している）に対して「人」と「板」が各々どれだけ動いたか、ということだけで答が決まってしまうのです。
　わざわざ運動方程式を持ちださなくても、No.2のように解けるということです。

物理の問題は、「机上の理想論」で論じられることが多いのですが、それはある意味現実世界とは遊離しているので、「理想の世界ではどのようになるのか（経験にとらわれずに思考実験する）」「現実の問題としてどのようなことが起こっているか（理想の世界と現実の経験とのギャップを埋める）」という「現象を想像できる力」が必要です。
　これが、なかなか難しいのですが。（特に、相対論とか量子力学では・・・）

uen_sap · Answer

重心位置は変わらない。
最初の重臣位置は、明らかに

ML/(m+M)

動いた後の重臣位置は

((2L-x)m+(L-x)M)/(m+M)
これが ML/(m+M)に等しい。

xについて、解けば良い。

Tann3 · Answer

　No.2&3&5です。No.5の「お礼」に書かれたことについて。　その前に、ご質問の問題とNo.5の「お礼」とは全く別の問題です。ご質問の問題は、外力が働いていませんので、No.2に書いたように、そしてNo.6さんも書かれているように、そもそも「運動方程式」を立てる必要がありません。　ご質問の問題に運動方程式を立てるなら、No.5に書いたように「左端で歩き始め」「歩いている途中」「右端で止まる」を各々運動方程式で表わす必要があります。1つの運動方程式で全てを表わし、そこから「移動した変位」を求めることはできません。　それを踏まえた上で、No.5の「お礼」に書かれているのは、外力のある「等加速度運動」です。　この問題の一般解としては、次のようになると思います。　ここで、Ｂの質量を M、Ａの質量を m と書きます。（問題のように「mg」で書くと、力と質量と加速度がごちゃごちゃになり、何が何やら分からなくなるので）Ａに加える力を F、ＡとＢとの間の摩擦力を fm、Ｃ（床）とＢとの間の摩擦力を Fm と書きます。（１）まず、ＡとＢとの間の静摩擦係数が大きく、外力Fに対して「ＡとＢ」が一体で動く場合には、運動方程式は、「ＡとＢ」一体の加速度を a1 として、　　　F - Fm＝（M + m） × a1　　　（A1) になります。（これは、 Fm < F < fmの場合です）　この場合には、質量は（M + m）になるのは納得されますよね？　この場合には、力 F が、A ではなく B に加えられるのと同じことになります。（２）次に、F > fm で、Ｂに対してＡも動く場合を考えましょう。　このときには、Ａの加速度を a2 として運動方程式は　　　F - fm = m × a2　　　（A2) となり、ＡからＢに働く力は摩擦力 fm ということになります。上の（A1）式は、「力 F が、ＡではなくＢに加えられるのと同じ」ですから、ここで力 F が摩擦力 fm に変わったと考えれば、Ｂの加速度を a3 とした運動方程式は　　　fm - Fm＝（M + m） × a3　　　（A3）になります。　Ａが滑り始めたからといって、その質量がどこかに消滅することはあり得ません。　No.5の「お礼」の問題でも、例えばＡの質量を5mとすると、　　　5ma1 = 4mg - 0.6 × 5mg 　　　ma2 = 0.6 × 5mg - 0.4 × 6mg で、a1 = 0.2g、a2 = 0.6g となって、下の板の加速度の方が大きくなってしまいます。 a1 < a2 は,「押しているＡよりも、下のＢの方が加速度が大きい」ということですから、あり得ませんよね？　上記の（A3）式で解けば、　　6ma2 = 0.6 × 5mg - 0.4 × 6mg から、a2 = 0.1g となって、a1 > a2 になります。これなら納得できます。　以上の考察から、No.5の「お礼」に書かれた「問題集の答」が間違っているような気がします・・・。　そもそも、加える力を「4mg」などと物体の質量と重力加速度を使って表わしている問題自体が、何か奇妙な気がします。私も浅学の徒なので、間違っているかもしれません。詳しい方の反論・ご批判があれば幸いです。

物理の力学の問題です

まず人が歩くときに何が起こるかを考えます。

この回答への補足

No.1さんで正解で、何の問題もないのですが、もう少し簡単な解き方があります。

No.2です。

一つの問題を解決するというのも大事ですが、

No.2＆3です。

重心位置は変わらない。

No.2&3&5です。

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