No.1
- 回答日時:
F_n=F_(n-1)+F_(n-2)
を満たすだけなら、
F_n=pα^n+qβ^n
でも成り立ちます。
これに、初項F_0=0、F_1=0の条件を加えると、
F_0=p+q=0、F_1=pα+qβ=1 より、
p=1/(α-β)、q=-1/(α-β)
なので、
F_n=(α^n-β^n)/(α-β)
α,βは解と係数の関係より、
αβ=-1、α+β=1 ですから、
(α-β)^2=(α+β)^2-4αβ=1+4=5
α>β とすれば、α-β=√5 となります。
>F_n=F_(n-1)+F_(n-2)
を満たすだけなら、
F_n=pα^n+qβ^n
でも成り立ちます
ここがよくわからないんですよね
解が二個出たときにはそういう風に代入するのでしょうか? 多分特性方程式?というものがわかってないとおもうのですか?
No.2
- 回答日時:
>解が二個出たときにはそういう風に代入するのでしょうか?
必ずしもそうとは限りません。
F_n=F_(n-1)+F_(n-2) の場合、線型性、つまり、
「A_n、B_nが条件を満たすなら、A_n+B_nも条件を満たす。」
「A_nが条件を満たすなら、任意の定数pに対し、pA_nも条件を満たす。」
があるからそういうことが可能です。
線型性の証明はそんなに難しくはないでしょう。
線型性がなければ、2つの解を足したり引いたり定数倍したり、なんてことはできません。
なるほど。 なぜ可能なのかはわかったのですが、例えば、αはr^n=r^(n-1)+r^(n-2)を満たすので、αだけ代入というわけにはなぜ行かないのですか?
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
実際に計算してないでしょう?
計算してれば,αだけとかそういうことは思わないと思うが.
α,βの入力がつらいので,それぞれa,bとする.
F_n=F_{n-1}+F_{n}
F_n = (a+b)F_{n-1} - abF_{n}
これを変形すると
F_n - aF_{n-1}=b(F_{n-1} - aF_{n})・・・(1)
F_n - bF_{n-1}=a(F_{n-1} - bF_{n})・・・(2)
(1)より{F_n - aF_{n-1}}は初項F_2-aF_1,公比bの等比数列
(2)より{F_n - bF_{n-1}}は初項F_2-bF_1,公比aの等比数列
つまり
F_{n+1} - aF_{n} = (F_2 - aF_1)b^{n-1}
F_{n+1} - bF_{n} = (F_2 - bF_1)a^{n-1}
辺々ひいて
(b-a)F_{n} = (F_2 - aF_1)b^{n-1} - (F_2 - bF_1)a^{n-1}
あとはF_2=1,F_1=0といういつもの初期条件だったら
(b-a)F_{n} = b^{n-1} - a^{n-1}
nかn-1かという部分があるけど
これは,問題の初期設定(0項から始まるか1項からか)とかで
微妙に変化する.ここでは1項から始まることにする
#一応いっておくと wikipadiaでは0項から始まることにしてるから
#aとbの指数がnになっている
つまり,F_{n+1}とF_{n}に関する連立方程式をとく必要があるから
必然的に両方の解を使う必要があるということ.
となると疑問なのは
三項間漸化式で特性方程式が重解をもつようなものは
どうなるのか?
つまり
F_{n} -4 F_{n-1} + 4F_{n-2} = 0
というようなもの.
これも実際に計算すればいい
F_{n} - 2 F_{n-1} = 2 (F_{n-1} - 2F_{n-2})
だから
F_{n+1} - 2 F_{n} = 2^{n-1} (F_2-2F_1)
このタイプの漸化式は実は両辺を2^{n+1}で割れば解けるので
それでOK.もっと書けば
F_{n+1}/2^{n+1} - F_{n}/2^n = (F_2-2F_1)/4
となるので
数列{F_{n}/2^n}は等差数列となるということ
ここで,F_{n}の係数と公比が同じ(今は「2」)(つまり特性方程式が重解)というのが
効いているのがわかる?
この場合,重解だからうまく等差にもっていけるわけ.
==============
線型性とかに話をもっていくならば
まず数列全体がなす空間はベクトル空間であって
線型な漸化式は
そのベクトル空間で一次連立方程式を作ることになる.
三項間漸化式の場合・・・余次元が2の方程式で
その解空間の次元が2になるということです
#ここの部分の証明はきっと地道にやればできると思うが
#無限次元があいてだから難しいかもしれない
#漸化式が一次連立方程式をなすというのがポイントだと思う.
その解空間の基底として
{a^{n-1}},{b^{n-1}}が選べる
実際
a^2=a+1なんだから
n=,2,3,4...に対して
a^n = a^{n-2} a^2
= a^{n-2} (a+1)
= a^{n-1} + a^{n-2}
なんで,{a^{n-1}}は漸化式を満たし,bについても同様.
したがってその解空間の元は係数p,qを用いて
{pa^{n-1}+b^{n-1}}
となる.
内容は完全に大学生のものですな.
線型n階微分方程式の解空間の議論と似ている.
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