No.2ベストアンサー
- 回答日時:
数学の問題になる数列は、案外限られた公式を使用しているので、
コツさえ掴めばそんなに難しくないのじゃないでしょうか。
今回使う公式は、以下の三つです。
・初項b、公差cの数列an=b+c(n-1)
・Σak(k=1,2,・・・n)=n(a1+an)/2
・Σk²(k=1,2,・・・n)=n(n+1)(2n+1)/6
解答ですが、
Σan=a1+a2+・・・+an
のとき、両辺を2乗すると、右辺は、
(a1+a2+・・・+an)²
=(a1²+a2²+・・・+an²)+2(a1a2+a1a3+・・・+a1an+a2a3+・・・)
=(a1²+a2²+・・・+an²)+2Sn
となります。
これは、n=3、4くらいで試してみると、多分こうなるんだろうな、とわかります。
つまり、
Sn={(Σan)²-(a1²+a2²+・・・+an²)}/2 ----(1)
です。
初項1、公差3の等差数列は、
an=1+3(n-1)=3n-2
なので、
an²=(3n-2)²=9n²-12n+4
したがって、
Σan=n(a1+an)/2=n(3n-1)/2 ----(2)
(a1²+a2²+・・・+an²)=Σan²
=9Σk²-12Σk+Σ4 (k=1,2,・・・,n)
=9n(n+1)(2n+1)/6-12n(n+1)/2+4n
=n(3n²-3n/2-1/2) -----(3)
(1)式に代入すると、
Sn=[{(2)式の2乗}-(3)式]/2
なので、
Sn={(9n^4)/4-(9n^3)/2+(7n^2)/4+n/2}/2 -----(4)
(4)式に、n=10を代入すると、
S10 = 9090 になります。
以上です。数列としての難しさよりも、
式の展開の方が面倒かもしれません。
(4)式だけ累乗が^記号になってしまいました。
判りにくくなって申し訳ありません。
以上です。
ご参考になれば幸いです。
No.1
- 回答日時:
数列{an}を初項1、公差3の等差数列の初項からn項までの項のうち、
異なる2項の積の和をSnをする。
例)S3=a1a2+a1a3+a2a3
>S10は?
第n項an=a1+(n-1)×d=1+(n-1)×3=3n-2
S10の項の組み合わせは、全部で10C2=45通り
a10のとき、a1~a9の9通り、和=a10×(a1+……a9)
a9のとき、a1~a8の8通り、和=a9×(a1+……a8)
………
a3のとき、a1~a2の2通り、和=a3×(a1+a2)
a2のとき、a1の1通り、和=a2×a1
S10はこれらの各和を足したもので、第n項までの和は、
a1+……+an=(n/2)×(a1+an)=(n/2)×(1+an)だから、書き換えると、
S10=a10×(9/2)×(1+a9)+a9×(8/2)×(1+a8)+……
…… +a3×(2/2)×(1+a2)+a2×(1/2)×(1+a1)
=Σ(k=1~9)a[k+1]×(k/2)×(1+a[k])
=Σ(k=1~9){3(k+1)-2}×(k/2)×{1+(3k-2)}
=Σ(k=1~9)(k/2)×(3k-1)×(3k+1)
=Σ(k=1~9){(9/2)k^3-(1/2)k}
=(9/2)Σ(k=1~9)k^3-(1/2)Σ(k=1~9)k
=(9/2)×{(1/2)×9×(9+1)}^2-(1/2)×{(1/2)×9×(9+1)}
=(9/2)×45^2-(1/2)×45
=(45/2)×(9×45-1)
=9090
になりました。計算を確認してみて下さい。
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