コンプガチャの確率

1/10で出るカードがあるとします。そのようなカードを5枚集めるとします。(5枚とも異なるカードです)
この場合、コンプリートするための確率はどのように求められるのでしょうか。

よろしくお願いします。

No.6 ベストアンサー 回答者： matsu_jun 回答日時： 2012/05/14 17:38

thjki6624さん、こんにちわ。

何年も昔の公式を思い出し、力技で求めてみました。誤っていたり、冗長だったりしたら御指摘をお願いします。


【前提】
レアカードは必ず10分の1の確率で入手できることから、以降レアカードの枚数を基準に考察する。
（計算後に10を掛けたものが、ガチャ回数と考えられる）
レアカードは5種類有り、どれも等しい確率で入手できるものとする。(1/5の確率)
以降、便宜上5種類のレアカードを[1]、[2]、[3]、[4]、[5]とする。


手に入れたレアカードの枚数をN(枚)とした場合、
レアカードの組合せは、入手順を考慮に入れると トータル 5のN乗 (以下 5^N) 通り …(1)
全てが同じレアカードである組合せは、5通り …(2)
レアカードが2種類しか揃わない組合せは
　例えば[1]と[2]だけしか揃わない場合について考えると
　　N枚全てが[1]と[2]のいずれかである場合は 2^N 通り …(3.1)
　　その中から、[1]だけの場合と[2]だけの場合(1種類しか揃わなかった場合：2通り)を除外する必要があるので、
　　2^N-2 通り …(3.2)
　これが、5枚のレアカードから2種類を摘出して、全ての場合について適用される、すなわち
レアカードが2種類しか揃わない組合せは
　(2^N-2)×5C2 通り …(3)
以降同様な考え方で、レアカードが3種類しか揃わない可能性は
　(3^N － 3C2×(2^N-2) － 3) × 5C3 …(4)
4種類しか揃わない可能性は
　(4^N － 4C3×(3^N－3C2×(2^N-2)-3) － 4C2×(2^N－2) － 4) × 5C4 …(5)
となる。

(1) － ( (2)＋(3)＋(4)＋(5) ) が、コンプできた場合(5種類揃った場合)の組合せとなる。


この計算が面倒でしたので、Excelで求めてみたところ、
ガチャ回数50 → レアカード数5 → コンプ確率 3.84% となりました。
以降、レアカードの枚数とコンプの確率を列記すると

　６→１１．５２％
　７→２１．５０％
　８→３２．２６％
　９→４２．７１％
１０→５２．２５％
１５→８２．８８％
２０→９４．２７％
２５→９８．１１％
３０→９９．３８％
４０→９９．９３％
５０→９９．９９％

ということで、この条件なら、500回もガチャれば、ほぼ100%コンプすることが可能なようです。
1ガチャ300円とすれば、15万円といったところでしょうか。


当然現実では、レアカードの種類もずっと多いでしょうし、運営側で確率を変えることもシステム上は可能になりますのでこの限りではありません。あくまで条件に基いた結果であるのでご注意をお願いします。

この回答へのお礼

なるほど！！そうやってもとめればいいのですか！！
ありがとうございました！！

お礼日時：2012/05/19 12:17

No.9 回答者： madausa 回答日時： 2012/05/21 00:10

再回答です。

＞ですが、私が知りたいのは5枚すべてのカードに10枚のうち特定の1枚をとるという場合の話です。

わかってます。コンプガチャってそういうものですから、だから22.8回が期待回数だと答えました。
一般的に考えて１回引けば、対象でないものも含めてなんらかのカードが出るけど、その中でコンプの対象となるカードが決まっていてそれを集めるというものがコンプガチャだと思っています。NO7の補足を見るかぎり質問中の設定はどうも違いますね。
てっきり対象のカードを引く確率が1/10だと言ってるものだと思いましたが、カード自体が1/10の確率でしか出ないが、出たカードは必ずコンプ対象の５種のどれかだという考え方なのですね？（平たく言えば個々の対象カード出現率が1/50）

考え方としてはNO5の式と同じです。個々のカードの取得確率が1/10だと思ったので（10種のカードのうち対象カードが5種と考えた。）22.8回と答えましたが、取得確率が1/50なら（50種のカードのうち5種が対象カードと考える。）数式の分母を５倍していただけばいいだけの話です。
1/10の確率のときに22.8回なのだから1/50なら５倍の114回になります。

理解できるかな・・

この回答へのお礼

コンプガチャというものを知ったかしていたので質問内容が上手く伝わらなかったみたいです。すみませんでした。
ご丁寧に何度も回答ありがとうございました。

お礼日時：2012/05/30 00:39

No.8 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/05/19 23:33

クーポン収集問題という有名なやつがあって, それによると「5種類のカードをランダムに 1枚ずつ引く」ときに 5種類全部そろえるまでの引く回数は平均

5(1/5+1/4+1/3+1/2+1/1) = 11.4
回です. 今の問題設定では (平均して) 10回に 1回引けるとしていいので, 全体としてこの 10倍, つまり 114回くらいが必要です.

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2012/05/30 00:38

No.7 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/05/14 18:00

一応確認ですが, 「1/10で出る」というのは「個々のカード」の話でしょうか? つまり

・それぞれのカードが 1/10 の確率で出る (したがって全体で考えると「どれかのカードが出る確率」は 1/2)
なのか, それとも
・カードが出る確率が 1/10 で, その「1/10」のときにさらにどれかのカードが出る (つまり「カードが出る確率」が 1/10 で, 個々のカードで見ると 1/50 とかそんな感じ)
なのかで全く違うのですが, どちらでしょうか?

全体的にはクーポン収集かその変形なんだろうけど.

この回答へのお礼

後者です。
おっしゃる通り、そこの部分があいまいだったので回答者様にご迷惑をかけてしまいました。

お礼日時：2012/05/19 12:10

No.5 回答者： madausa 回答日時： 2012/05/14 17:07

NO2です。

お礼見ました。もちろんかぶる可能性も考えた上での確率を出しますよ。
ですが、知りたいのはコンプまでの期待試行回数のようなので数式を交えて解説します。

期待回数をP、当たりカードを獲得する確率をXとします。
P＝1/Xという式が期待回数を求める式です。この理屈がわかりにくければコイントスなどわかりやすいもので考えていただければすぐ理解できると思います。

では、解説。

1枚目の当たりを引く確率は10枚中の5枚なのでX＝0.5です。P1＝1/0.5なのでP1（期待回数）は2です。
つまり2回ガチャを引けばおそらく1枚目のカードは獲得できるということです。
2枚目の当たりは10枚中の4枚ですからX＝0.4です。P2＝1/0.4　∴P2＝2.5
3枚目の当たりは10枚中の3枚ですからX＝0.3です。P3＝1/0.3　∴P3≒3.3
4枚目の当たりは10枚中の2枚ですからX＝0.2です。P4＝1/0.2　∴P4＝5
5枚目の当たりは10枚中の1枚ですからX＝0.1です。P5＝1/0.1　∴P5＝10

P1～P5を足せば全体のガチャ回数になります。
ΣP＝2+2.5+3.3+5+10＝22.8

コンプまで23回が期待回数といったところでしょう。理解できましたでしょうか？

この回答へのお礼

1/10の確率はそれぞれ独立という意味だったんです。(僕の説明の仕方が悪かったですね。)
もちろん10枚のうち、ある一枚をとる確率ももちろん1/10なのはわかっています。

ですが、私が知りたいのは5枚すべてのカードに10枚のうち特定の1枚をとるという場合の話です。

お礼日時：2012/05/19 12:09

No.4 回答者： skip-man 回答日時： 2012/05/14 15:31

条件が足りなさすぎ。

必ず5種類のカードがでて来るなら，回数無制限にすれば，100％コンプ出来る。

この回答へのお礼

そうですよね、回数無制限ならコンプできますよね。。

期待値は何回か？っていえばいいんですかね？

お礼日時：2012/05/14 15:36

No.3 回答者： tarutosan 回答日時： 2012/05/14 15:26

酷い所だと一定金額かけないと絶対に出ない、なんて場合もあるようです。

15万使ってもコンプできなかった場合もあるとか…区々でしょうね。

この回答へのお礼

そうなのですか。
しかし、あくまで確率の問題を知りたくてコンプガチャの話を出しているので、それ自体の話はあまり今は気にしていません。すみません。

お礼日時：2012/05/14 15:35

No.2 回答者： madausa 回答日時： 2012/05/14 15:25

ガチャを引く回数が設定されていないと確率は求められません。

例えばガチャ５回でコンプする確率（ハズレ、かぶりが１回もない）は0.12％です。

10を５回ひくので組み合わせは10の５乗で100000通りで、そのうち120通りがコンプだと思いますので、120÷100000で確率が求まります。

あとは試行回数を自分で設定して考えてみてください。

この回答へのお礼

コンプリートするまでの回数の期待値っていえばいいんですかね？



かぶりはあるという条件でお願いします。つまり、コンプするほど当たりにくくなるという。

お礼日時：2012/05/14 15:34

No.1 回答者： Cupper-2 回答日時： 2012/05/14 15:15

１０枚中５枚の当たりカードがあるんだから…何回カードを引けば全て出てくるか

を考えれば良い。

この回答へのお礼

すみません、1/10の確率はそれぞれ独立です。

お礼日時：2012/05/14 15:23