
No.3ベストアンサー
- 回答日時:
先の質問の、
0.9999・・・=1
1+2=3
というときの等号(=)と、
今回の質問の、
lim[n→∞]2n=∞
では、等号(=)の意味は違いますよ。
先の質問の等号は、2つの実数が等しいことを示す等号です。
同じような等号の使い方に、
3/3=1
1^2=1
√1=1
1/2+1/4+1/8+・・・=1
lim(n→∞){n/(1+n)}=1
いずれも、式の左辺と右辺が「等しい実数」であることを意味しています。
一方、今回の質問の、
lim[n→∞]2n のように、
極限(lim)は、収束していれば一つの実数を表しますが、
収束しないとき(発散するときか、振動するとき)には、「実数」を表しませんし、右辺の「∞」も実数ではありません。
***の極限が正の無限大に発散するとき、特に 「lim***=∞」 と表記する。という特別の表現なんです。
この=は実数の等しいことを表す=ではなく、「=∞」までセットで、固定的な表現です。
ご回答ありがとうございます。
0以上の整数をnとおくと、n.999…=n+1、 n.000…=nとなる式や3/3=1、1^2=1、√1=1のような式や、lim(n→∞){n/(1+n)}=1の極限値に収束する極限の式の等号=の意味は右辺と左辺の値が全く等しいことを表す等号の意味。
一方、lim[n→∞]2n=∞・・(1)のように、極限が正の∞に発散するような、極限が発散するときの式の等号は、(1)の式なら「=∞」までセットという固定的な表現で、このような式の等号は右辺と左辺が全く等しいことを表わさない。
ということでしょうか?
宜しければご回答宜しくお願い致します。
No.6
- 回答日時:
←A No.4 補足
∞ は、実数や複素数を表すものではありあません。
しかし、∞ を値とか数とか呼び得るかどうかは、
値とか数とかいうものをどう定義するか次第です。
A No.4 には、
∞ が数であり値となるような世界の例を書いてみました。
(興味無いようですが…)
数とは実数または複素数だという考えは、高校数学固有の
狭い世間での約束に過ぎません。
>∞ を値とか数とか呼び得るかどうかは、
値とか数とかいうものをどう定義するか次第です。
∞ が数であり値となるような世界の例を書いてみました。
高校数学でさえ広い世界だと思ってましたが、そういうさらに広い世界があるんですね。
ご回答ありがとうございました。
No.5
- 回答日時:
>このような式の等号は右辺と左辺が全く等しいことを表わさない。
まったくの誤解です。
とくにこの質問の背景には「全くはひとしくない」=「少し(微妙に)異なっている」という考えがあるかとおもいますが、そんな意味ではありません。
教科書に書いてあることをそのまま理解すればよいのです。
xの式***が、x→0のとき、無限大に発散するならばそのときに「lim(x→0)***=∞」と書く
って、書いてあるでしょ。(xの行先は0に限らず、ほかの実数だったり∞だったり色々だけど)
教科書のどこかに「なにかが等しい」という文字や表現が使われていますか?いないでしょ。
しつこいですけど、
「ある式を評価したら無限大に発散ことがわかった。そのときその事実(発散する)ことを式で表現するとき、・・・=∞ と書く」という意味です。
名著「解析概論」の表現を借りるなら、「記号∞を用いて標語的にこのように書くのである」ということです。
教科書に書いてあることをそのまま素直に理解すればよいのです。
No.4
- 回答日時:
実数なり、複素数なりに一点 ∞ をつけ足して、
コンバクトな空間にすることができます。
その空間上では、lim[n→∞]n も lim[n→∞]2n も
どちらも ∞ に収束し、
lim[n→∞]2n = 2lim[n→∞]n = 2∞ = ∞
が成り立ちます。
このように、空間を拡張するのでなければ、
lim[n→∞]2n = ∞ と書くことはできません。
∞ は実数でも複素数でもないからです。
No.2
- 回答日時:
「=」は等式の左辺と右辺が等しいという意味しかないです。
なので
>lim[n→∞]2n=∞
>の等式=は
>1+1=2
>の等式=と全く同じ意味を表すんでしょうか?
全く同じ意味です。
だけど、∞は数値ではありません。
なので「=∞」も余りいい表現とは言えませんが、慣習上使われる事があります。
今の場合「=∞(発散)」あるいは「=」を使わないで「極限は発散する」、「無限大に発散する」、「収束値は存在しない」などと解答した方が良いかもしれないですね。
ご回答ありがとうござます。
慣習上使われる事があるから、lim[n→∞]2n=∞の等式=は1+1=2の等式=と全く同じ意味を表すと言えるんですね。
1+1=2は値が等しいという意味ですが,lim[n→∞]2n=∞の∞は値ではありませんから同じ等式=とは言えず、左辺の式の値が限りなく大きくなることの表現として「極限=∞」という表記が許されているだけです。
との意見があったためこのような質問をさせて戴きましが、この意見の一部は間違いということでしょうか?
宜しければご回答宜しくお願い致します。
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