複素関数

解決済

質問者：canaanxxx
質問日時：2012/05/24 22:39
回答数：1件

zを複素数とするとき、w=z^3により、z平面はw平面にどのように写像されるか。また、z=w^1/3のリーマン面を図示せよ。

　という問題で、前半部分を教科書で調べたところ、w=z^3の逆関数w^3=zを満足するwをzの関数として解いていくのですが、どうしてこのような手順で解くのか分かりません。
　また、後半部分は全く分からないので、どなたか教えてください。

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回答 (1件)

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No.1ベストアンサー

回答者： info22_
回答日時：2012/05/25 14:32

前半）

z=x+iy=r*exp(iθ)(r≧0)
w=u+ivとおくと
w=z^3=r^3*exp(i3θ)
u=r^3*cos(3θ), v=r^3*sin(3θ)

∴u^2+v^2=r^6, v=u*tan(3θ)

z面での円群x^2+y^2=r^2(rはr≧0なる任意定数)はw面における
円群u^2+v^2=(r^3)^2に写像されます。
またz面での直線群y=(tanθ)x（θは任意の定数)はw面における
直線群v=u*tan(3θ)に写像されます。

後半)
>z=w^(1/3)のリーマン面を図示せよ。
リーマン面の立体図をここに図示するのは困難ですから
参考URLの色々な写像w=f(z)の図が載っています。最後の図がw=z^(1/3)の写像のリーマン面の立体図です。
（色々な他のリーマン面の図も併せてご覧いただくと役立つでしょう。）

参考URL：http://www.mathworks.co.jp/products/matlab/demos …