等式

整式f(x)は、すべての実数tに対して、
(t+1)f(t+1)-(t-1)f(t-1)=t^2+t+1
を満たすとする。このとき、整式f(x)の次数nを求めよ。

f(x)=ax^n+bx^(n-1)とおき(a≠0)、
g(x)=xf(x)とおくと
g(x)=ax^(n+1)+bx^n +・・・・・である
g(t+1)=(t+1)f(t+1)、g(t-1)=(t-1)f(t-1)より(t+1)f(t+1)-(t-1)f(t-1)=t^2+t+1に代入して
g(t+1)-g(t-1)=t^2+t+1
g(t+1)-g(t-1)
=a{(t+1)^(n+1)-(t-1)^(n+1)}+b{(t+1)^n-(t-1)^n}+(n-1次以下)
ここまでは分かるのですが、ここから
=a{2(n+1)t^n+(n-1次以下)}+b{2nt^(n-1) +(n-2次以下)} +(n-1次以下)となる理由が分かりません 教えてください

No.1 ベストアンサー 回答者： 151A48 回答日時： 2012/05/26 15:53

２項定理で展開して最初の何項かを書くと

(t+1)^n+1=t^n+1 +(n+1)t^n +((n+1)n/2)t^n-1 +・・・・

(t-1)^n+1=t^n+1 -(n+1)t^n +((n+1)n/2)t^n-1 +・・・・

(t+1)^n=t^n +nt^n-1 +(n(n-1)/2)t^n-2 +・・・・

(t-1)^n=t^n -nt^n-1 +(n(n-1)/2)t^n-2 +・・・・

この回答への補足

aが係数の項で
(t+1)^n+1=t^n+1 +(n+1)t^n +((n+1)n/2)t^n-1 +・・・・
と
(t-1)^n+1=t^n+1 -(n+1)t^n +((n+1)n/2)t^n-1 +・・・・
を足すと2t^(n+1)+((n+1)n)t^(n-1)+・・・・
で2(n+1)t^n+(n-1次以下)にはならないと思います


bが係数の項も
(t+1)^n=t^n +nt^n-1 +(n(n-1)/2)t^n-2 +・・・・
と
(t-1)^n=t^n -nt^n-1 +(n(n-1)/2)t^n-2 +・・・・を足すと
2t^n+(n(n-1))t^(n-2)+・・・・・
となって2nt^(n-1) +(n-2次以下)と一致しません
なぜでしょうか？

補足日時：2012/05/26 16:10

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2012/05/26 19:43

何で足すの？ 引くんですよ！

二項定理から
(t+1)^(n+1) = t^(n+1) + (n+1)t^n + (tのn-1次以下の多項式),
(t-1)^(n+1) = t^(n+1) - (n+1)t^n + (tのn-1次以下の多項式),
(t+1)^n = t^n + nt^(n-1) + (tのn-2次以下の多項式),
(t-1)^n = t^n - nt^(n-1) + (tのn-2次以下の多項式)
なので、引き算すれば、
(t+1)^(n+1) - (t-1)^(n+1)
= {t^(n+1) + (n+1)t^n + (tのn-1次以下の多項式)} - {t^(n+1) - (n+1)t^n + (tのn-1次以下の多項式)}
= 2(n+1)t^n + (tのn-1次以下の多項式)
と
(t+1)^n - (t-1)^n
= {t^n + nt^(n-1) + (tのn-2次以下の多項式)} - {t^n - nt^(n-1) + (tのn-2次以下の多項式)}
= 2nt^(n-1) + (tのn-2次以下の多項式)
ですよね。足しちゃ、(t+1)^(n+1) + (t-1)^(n+1) にしかならない。

あらかじめ、f(x) = ax^n + bx^(n-1) + (xのn-2次以下の多項式) と置いてあれば、
x f(x) = ax^(n+1) + bx^n + (xのn-1次以下の多項式) より、
(t+1) f(t+1) - (t-1) f(t-1)
= a{(t+1)^(n+1) - (t-1)^(n+1)} + b{(t+1)^n - (t-1)^n} + (tのn-1次以下の多項式)
= a{2(n+1)t^n + (tのn-1次以下の多項式)} + b{2nt^(n-1) + (tのn-2次以下の多項式)} + (tのn-1次以下の多項式)
= 2a(n+1)t^n + (tのn-1次以下の多項式)
となります。

この式が t^2+t+1 と一致するように、最高次項に注目して
n = 2, 2a(n+1) = 1 より a = 1/6。
あらためて f(x) = (1/6)x^2 + bx + c と置いて、最初の式へ代入すると… (以下省略)

この回答へのお礼

失礼しました 引き算です
ありがとうございました

お礼日時：2012/05/26 20:13