RC回路の過渡応答について

抵抗Rに生じる電圧Vrを電荷qであらわすとVr＝Ri＝R(dq/dt)
またコンデンサの両端に生じる電圧Vcは同様にqを用いて
Vc＝１/C∮i dt＝1/C∮(dq/dt) dt=1/C∮ dq=q/C

ここからE=Vr+Vcにより
E=R(dq/dt)+q/Cになるのですが、ここからqを求めたいのですが
計算のやり方がわかりません。
どなたか、出来るだけ細かく説明していただけませんか。
よろしくお願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： FT56F001 回答日時： 2012/05/27 16:58

>E=R(dq/dt)+q/C

[教科書的方法]
q=EC+q'と変数変換する。
ECは定数なのでdq/dt=dq'/dt

E=R(dq'/dt)+(EC+q')/C
両辺からEを引いて
0=R(dq'/dt)+q'/C
dq'/dt=-q'/(RC)

変数分離する。左辺にq'，右辺にtを集める。
dq'/q'=-dt/(RC)
両辺を積分して
∫dq'/q'=-∫dt/(RC)
log(q')=-t/RC+K
Kは積分定数

対数を指数関数に直す。
q'=exp(K-t/RC)
q=EC+q'と置いたので，
q=EC+exp(K-t/RC)
=EC+Q0*exp(-t/RC)
Q0は初期値で決まる定数

t=0のときq=0であったのなら，
q=EC{1-exp(-t/RC)}


[目の子的方法]
一階の微分方程式なので，
解は指数関数になることが分かっている。そこで
q=Q1+Q2*exp(-t/τ)と仮定する。
τは時定数，Q1,Q2は初期値や電源条件で決まる定数。

微分方程式　E=R(dq/dt)+q/C
に代入する。
E=-R*Q2*/τ*exp(-t/τ)+Q1/C+(Q2/C)*exp(-t/τ)
変形して
[1/C-R/τ]*Q2*exp(-t/τ)+[Q1/C-E]=0

これが任意のtについて成り立つので，
定数項[Q1/C-E]=0かつ
exp(-t/τ)の係数[1/C-R/τ]=0である。
これよりQ1=E*C，τ=RCとなる。

よって，
q=E*C+Q2*exp{-t/(RC)}
Q2は初期値で決まる定数。

t=0のときq=0であったのなら，Q2=-E*C
q=E*C*[1-exp{-t/(RC)}]