どの内角も 120°を超えない△ABC の外部に,3点 A',B',C' を次のようにとる.3つの三角形 A'BC, AB'C, ABC' は正三角形で,互いに重ならない.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 線分 AA', BB', CC' は1点 P で交わることを証明せよ.
(答)∠APC'=∠C'PB=∠BPA'=∠A'PC=∠CPB'=∠B'PA=60°を示す。
(2) AP の長さを求めよ.
(答)△ABCの面積をSとして、AP = {4S+(b^2+c^2-a^2)√3}/√6√(a^2+b^2+c^2+4S√3)
(3) AP^2+BP^2+CP^2 を求めよ.
(答)(a^2+b^2+c^2)/2 - 2S/√3
上記の問題の(2)はどのようにして導くのでしょうか?
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
a,b,cの定義がない。
たぶん、a=BC、b=CA、c=ABのつもりだろうけど、きちんと明記しておかないとどこの長さか不明です。
p=AP、q=BP、r=CPとおくと、
∠APB=∠BPC=∠CPA=120° だから、
余弦定理より、
a^2=q^2+r^2+qr
b^2=r^2+p^2+rp
c^2=p^2+q^2+pq
面積は、
S=△APB+△BPC+△CPA=(√3/4)(pq+qr+rp)
これらから、
p^2+q^2+r^2=(p+q+r)^2-2(pq+qr+rp)=(p+q+r)^2-8S/√3
a^2+b^2+c^2=2p^2+2q^2+2r^2+pq+qr+rp=2(p+q+r)^2-4S√3
よって、
p+q+r=√(a^2+b^2+c^2+4S√3)/√2
b^2-a^2=(p-q)(p+q+r)
c^2-a^2=(p-r)(p+q+r)
より、
q=p-(b^2-a^2)/(p+q+r)
r=p-(c^2-a^2)/(p+q+r)
p+q+r=3p-(b^2+c^2-2a^2)/(p+q+r)
(p+q+r)^2=3p(p+q+r)-(b^2+c^2-2a^2)=3p√(a^2+b^2+c^2+4S√3)/√2-(b^2+c^2-2a^2)
これを、
a^2+b^2+c^2=2(p+q+r)^2-4S√3
に代入して整理すれば求める式になる。
ありがとうございます。巧妙な式変形に驚きました。
a^2=q^2+r^2+qr
b^2=r^2+p^2+rp
c^2=p^2+q^2+pq
という連立方程式をp,q,rについて解いたことに相当すると思いますが、
より、一般に、
平面上に、△ABC(BC=a,CA=b,AB=cとします)と点P(p=AP、q=BP、r=CPとします)があり、∠BPC=α、∠CPA=β、∠APB=γ (α+β+γ=2π)となったとき、
a^2=q^2+r^2+qrcosα
b^2=r^2+p^2+rpcosβ
c^2=p^2+q^2+pqcosγ
をp,q,rについて解くことはできるのでしょうか?
さきほどは面積Sがうまく働きましたが、今回は、
S=△APB+△BPC+△CPA=(1/2)(pqsinγ+qrsinα+rpsinβ)
となり、行き詰ってしまいます。
No.2
- 回答日時:
∠BPC=α、∠CPA=β、∠APB=γ (α+β+γ=2π)の場合は、
a^2=q^2+r^2-2qrcosα
b^2=r^2+p^2-2rpcosβ
c^2=p^2+q^2-2pqcosγ
これを解くのはかなり難しいでしょうね。
やるとしたら、xy平面に置き替えて、座標計算で求める方法でしょうか。
例えば、
点A,Bの位置と∠APB=γから、三角形APBの外接円を求める。
点B,Cの位置と∠BPC=αから、三角形BPCの外接円を求める。
2つの外接円の交点を求める。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 三角形ABCの辺BCを4 : 3に内分する点をTとし、点Tを接点として辺BCに接する円が点Aで直線A 3 2023/02/12 21:03
- 数学 AB=2,BC=3,∠ABC=60°の三角形がある。 点Aから辺BCに垂線を下ろし辺BCとの交点をD 4 2023/02/02 15:55
- 数学 数学の質問です。 kを正の実数とする。 点Pは△ABCの内部にあり、 kAP+5BP+3CP = 0 2 2023/07/03 21:24
- 数学 問題文 3点A(1、2、3)、B(2、3、-1)C(3、1、4)の定める平面ABC上に点P(X、-6 1 2022/10/09 17:29
- 数学 数B ベクトルについて質問です。 平面上に△ABCと点P、Qがあるとする。次の等式が成り立つ時、点P 2 2022/06/28 19:51
- 数学 複素数の問題です。ご教授お願い致します。 3点が与えられており、それぞれ、 A=2 B=-1-i C 2 2023/07/11 21:59
- 数学 数学Aでわからない問題があります。[写真参照] 点Oは三角形ABCの外心である。xを求めよ。 答えは 3 2023/02/10 00:13
- 数学 右の図で、BCの長さを四捨五入して、 小数第1位まで求めなさい。 図は三角形ABCで、∠Aが50度、 3 2022/07/28 01:17
- 数学 数学の質問です。 △ABCにおいて, ∠Aの二等分線が BC と交わる点をRとする。 辺BC, CA 2 2023/07/13 23:58
- 大学・短大 三角形ABCにおいてBCの中点をM、AB>=ACとする。この時AからBCに下ろした垂線とBCとの交点 1 2023/05/10 20:20
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
合同と=の違い
-
この世に「絶対」なんてない。 ...
-
数学Aについて質問です。 1. 正...
-
正八角形で・・・・
-
(x+y)10乗の係数を教えて...
-
スマホでこの画像の4G左側にあ...
-
一直線上にない3点を通る円をコ...
-
図形の性質 「平行な二直線を含...
-
ヘロンの公式って、3辺が整数で...
-
ベクトルを使った三角形の重心...
-
青い下線部分、なぜ三角形ABCの...
-
解決頼みます。 賢い方
-
垂心はなぜHで表すのか?
-
三角形の3辺上の点を結んででき...
-
1:2:√5?って直角三角形にな...
-
高校数学、空間図形、展開図
-
三角形ABCにおいてa=2√3、b=3-√...
-
京都大学で出題された次の問題...
-
sinθ=1の三角形ってどうやって...
-
数Iについてです。 「角A<90°は...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
数学Aについて質問です。 1. 正...
-
Aに直線3本で三角形7個
-
正八角形の三個の頂点を結んで...
-
正八角形で・・・・
-
京都大学で出題された次の問題...
-
エクセルで文書の改訂記号を作...
-
垂心はなぜHで表すのか?
-
Wordで三角柱を作成したいので...
-
三角形折りの卓上札に両面印刷...
-
三角形ABCと三角形DEFの重心は...
-
スマホでこの画像の4G左側にあ...
-
高校教科書の問題
-
四角形の重心の求め方の定義名
-
正八角形についてです。 3個の...
-
合同と=の違い
-
この世に「絶対」なんてない。 ...
-
ベクトルの重心
-
正七角形と二辺を共有する三角...
-
手の甲の三つの点のような刺青
-
高校の数Aで質問があります。 ...
おすすめ情報