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No.1
- 回答日時:
球台の体積S=(πh/6){3R^2+3r^2+h^2}(ただし、R,rは球台の上面、下面の円の半径、hは高さ)
>を導くことが出来ればどうか教えてください。
積分で求められます。
中心(0,0)半径1の円x^2+y^2=1 ……(1)の一部をy軸の周りに回転してできる立体として
求めます。
x軸よりも上の部分で半径Rの上面、x軸よりも下の部分で半径rの下面ができるとします。
半径Rのときの高さをh1,半径rのときの高さをh2とすると、h=h1+h2 ……(2)
(半径をx、高さをyとして考えます。)
(1)より、
半径Rのときの高さh1=√(1-R^2)より、h1^2=1-R^2 ……(3)
半径rのときの高さh2=√(1-r^2)より、h2^2=1-r^2 ……(4)
体積は、x軸より上側V1とx軸より下側V2を求め、V=V1+V2で求めます。
体積V1=∫[0~h1]π・x^2dy
=∫[0~h1]π(1-y^2)dy
=π[y-(1/3)y^3][0~h1]
=π{h1-(1/3)h1^3}
体積V2=∫[0~h2]π(1-y^2)dy(y軸の上側に移動して求めても同じ結果です。)
=π{h2-(1/3)h2^3}
V=π{h1-(1/3)h1^3}+π{h2-(1/3)h2^3}
=π{(h1+h2)-(1/3)(h1^3+h2^3)}
=π{(h1+h2){1-(1/3)(h1^2-h1h2+h2^2)}
=(1/3)πh{3-(h1^2-h1h2+h2^2)} (2)より、
ここで、(h1+h2)^2=h1^2+2h1h2+h2^2
(2)~(4)より、
2h1h2=h^2-h1^2-h2^2
=h^2-(1-R^2)-(1-r^2)
=h^2+R^2+r^2-2
よって、h1h2=(1/2)(h^2+R^2+r^2-2)だから、
3-(h1^2-h1h2+h2^2)
=3-(1-R^2)-(1-r^2)+(1/2)(h^2+R^2+r^2-2)
=(1/2)(h^2+3R^2+3r^2)
よって、
V=(1/3)πh(1/2)(h^2+3R^2+3r^2)
=(πh/6)(h^2+3R^2+3r^2)
になりました。
座標平面に表すことができれば、分かると思います。
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