ラグランジュの乗数法の問題教えてください

制約x^2+y^2-1=0のもとで目的関数xy-xの極値を求めなさい。
どなたかわかりやすく解説お願いします。

No.4 回答者： info22_ 回答日時： 2012/07/05 05:55

#3です。

A#3のf(x,y)=xy-xの図を添付します。
A,B,Cが停留点を与える座標点で
Cでは鞍点（つまり極値ではない）f(0,1)=0をとり、
Aでは極小値（最小値）-3√3/4、Bでは極大値（最大値）3√3/4
をとることがグラフ的にも確認できるかと思います。

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2012/07/05 05:07

ラグランジュの未定乗数法の標準的な問題です。

決まった手順通りやればできる問題なので自力でできないとダメです。
教科書や参考書や授業ノートを復習すれば基礎的な問題なので解けない方が可笑しいでしょう。手順どおりですから解説は不要だと思います。他力本願の丸投げも関心しませんね。

f(x,y)=xy-x,g(x,y)=x^2+y^2-1,λ=tとおいて
ラグランジュの未定乗数法を適用すると
h(x,y)=f(x,y)-λg(x,y)=x(y-1)-t(x^2+y^2-1)

∂h/∂x=y-1-2tx=0
∂h/∂y=x-2ty=0
∂h/∂t=x^2+y^2-1=0
これを解くと
(t,x,y)=(-√3/2,√3/2,-1/2),(√3/2,-√3/2,-1/2),(0,0,1)
これが極値を与える停留点候補です。

t=x=0,y=1のときを調べると　x^2+y^2=1,x≒0付近で
f(x,y)=xy-x=x√(1-x^2)-x≒x(1-(1/2)x^2)-x=-(1/2)x^3　なので
x<0でf(x,y)>0,x>0でf(x,y)<0と符号が変わるのでf(0,1)=0は極値でなない。

t=-√3/2,x=√3/2,y=-1/2のときを調べるとf(x,y)は極小となり、極小値はf(√3/2,-1/2)=(√3/2)((-1/2)-1)=-3(√3)/4 と得られる。

t=√3/2,x=-√3/2,y=-1/2のときを調べるとf(x,y)は極大となり、極大値はf(-√3/2,-1/2)=(-√3/2)((-1/2)-1)=3(√3)/4 と得られる。

（注）ラグランジュの未定乗数法では、停留点候補は全て導出できるが、それらが極大値、極小値、鞍点（極値ではない）のいずれを与える候補かは分からない。しかし、極値を与える候補は全て含まれる。極値の内の最大のものは極大値の１つであり、極値の内の最小のものは極小値の１つである。ということは分かる。
今の場合f(0,1)=0は極値ではない。停留点でのf(x,y)の最小のものと最大のものは、それぞれf(√3/2,-1/2)=-3(√3)/4、f(-√3/2,-1/2)=3(√3)/4
であるから
f(√3/2,-1/2)=-3(√3)/4≦f(x,y)≦f(-√3/2,-1/2)=3(√3)/4
なので、f(√3/2,-1/2)=-3(√3)/4が極小値（最小値）、f(-√3/2,-1/2)=3(√3)/4が極大値（最大値）と分かります。

No.2 回答者： ferien 回答日時： 2012/07/05 04:05

ANo.1です。

符号のミスがあったので、全体的に訂正します。

＞制約x^2+y^2-1=0　……（１）のもとで目的関数xy-xの極値を求めなさい。
ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘｙ－ｘ－λ（ｘ＾２＋ｙ＾２－１）……（２）とおくと、
ｆx＝ｙ－１－２λｘ＝０……（３），　ｆy＝ｘ－２λｙ＝０……（４）
（４）より、ｘ＝２λｙを（３）へ代入して
ｙ－１－４λ^2ｙ＝０
（１－４λ^2）ｙ＝１より、ｙ＝１／（１－４λ^2）（１－４λ^2≠０）
ｘ＝－２λ／（１－４λ^2）このｘ，ｙを
（１）に代入して、（４λ^2＋１）／（１－４λ^2）^2＝１
４λ^2＋１＝（１－４λ^2）^2
１６λ^4－１２λ^2＝４λ^2（４λ^2－３）＝０
λ^2≧０より、４λ^2－３＝０　よって、λ＝±√３／２
これをｘ，ｙの式に代入して、
ｘ＝２×（±√３／２）／｛１－（４×３／４）｝＝－（±√３／２）
ｙ＝１／｛１－（４×３／４）｝＝－１／２
（ｘ，ｙ）＝（－√３／２，－１／２）のとき、λ＝√３／２とも（２）へ代入して、
極大値＝３√３／４
（ｘ，ｙ）＝（√３／２，－１／２）のとき、λ＝－√３／２とも（２）へ代入して、
極小値＝－３√３／４

こちらでお願いします。済みません。

No.1 回答者： ferien 回答日時： 2012/07/05 03:37

＞制約x^2+y^2-1=0　……（１）のもとで目的関数xy-xの極値を求めなさい。

ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘｙ－ｘ＋λ（ｘ＾２＋ｙ＾２－１）……（２）とおくと、
ｆx＝ｙ－１＋２λｘ＝０……（３），　ｆy＝ｘ＋２λｙ＝０……（４）
（４）より、ｘ＝－２λｙを（３）へ代入して
ｙ－１－４λ^2ｙ＝０
（１－４λ^2）ｙ＝１より、ｙ＝１／（１－４λ^2）（１－４λ^2≠０）
ｘ＝－２λ／（１－４λ^2）このｘ，ｙを
（１）に代入して、（４λ^2＋１）／（１－４λ^2）^2＝１
４λ^2＋１＝（１－４λ^2）^2
１６λ^4－１２λ^2＝４λ^2（４λ^2－３）＝０
λ^2≧０より、４λ^2－３＝０　よって、λ＝±√３／２
これをｘ，ｙの式に代入して、
ｘ＝－２×（±√３／２）／｛１－（４×３／４）｝＝±√３／２
ｙ＝１／｛１－（４×３／４）｝＝－１／２
（ｘ，ｙ）＝（√３／２，－１／２）のとき、λ＝√３／２とも（２）へ代入して、
極小値＝－３√３／４
（ｘ，ｙ）＝（－√３／２，－１／２）のとき、λ＝－√３／２とも（２）へ代入して、
極大値＝３√３／４

になりましたが。。どうでしょうか？