No.3
- 回答日時:
ある程度網羅的に調べざるを得ませんが、できるだけ範囲を狭くできるような方法を考えてみました。
以下4桁の整数1000a+100b+10c+dをabcdと表記します。まず、準備として1から9までの整数の9乗までのべきで9999以下になるものを計算し、大きさの順に並べる。2^6=4^3=8^2 のように数値としては重複するものがあり、1から7776まで34種類ある。…(表1)
次にa^b*c^dとaの値との関係を考える。
例えばa=2のとき、a^b*c^dは2000以上2999以下の数でなければならない。
つまり、1000a≦a^b*c^d≦1000a+999 この各辺をa(>0)で割ると
1000≦a^(b-1)*c^d≦1000+999/a …(式1)
ここでa=1,2,3,4,5,6,7,8,9を代入して、上の不等式の右辺、すなわちa^(b-1)*c^dの上限を求めると、それぞれ1999,1499.5,1333,1249.75,1199.8…,1166.5,1142.7…,1124.875,1111 となる。
さらに、a,b,c,dの奇偶性を考えると、aが偶数ならa^b*c^dが常に偶数となるのでabcdが偶数になるためにdは偶数でなければならず、aが奇数ならa^bは常に奇数となるので、a^b*c^dの奇偶性はc^dの奇偶性と一致するためcが偶数ならdも偶数、cが奇数ならdも奇数でなければならない。…(条件1)
1)a=1のとき a^b=1 より a^b*c^d=c^d ここで表1から1で始まる4桁の整数は1024=4^5と1296=6^4 の2つしかないが、abcdの数字の並びに合わない。
2)a=2のとき 式1から1000≦a^(b-1)*c^d≦1499.5
b=1のとき 1000≦c^d≦1499.5 上の1)と同様に abcdの数字の並びに合うc,dはない。
b=2 のとき 500≦c^d≦749.75 条件1を考慮して表1から
c^d=625=5^4 またはc^d=729=3^6 いずれもabcdの数字の並びに合わない。
b=3のとき 250≦c^d≦374.6… 同様にc^d=256=2^8=4^4 で合わない。
b=4のとき 125≦c^d≦187.43… 条件1を満たすものは表1にない。
b=5のとき 62.5≦c^d≦93.7… 条件1を考慮して表1から
c^d=64=2^6=8^2 このとき a^b*c^d=2048 でabcdの数字の並びに不合。
c^d=81=9^2 このとき a^b*c^d=2^5*9^2=2592 で条件を満たす。
b=6のとき 31.25≦c^d≦46.85… 条件1を満たすものは表1にない。
b=7のとき 15.625≦c^d≦23.42… c^d=16=2^4=4^2
このとき a^b*c^d=2048 でabcdの数字の並びに不合。
b=8のとき 7.8125≦c^d≦11.71… c^d=9=3^2
このときa^b*c^d=2304 でabcdの数字の並びに不合。
b=9のとき 3.90625≦c^d≦5.85… c^d=4=2^2
このときa^b*c^d=2048 でabcdの数字の並びに不合。
以下同様にa=3,4,5,6,7,8,9 について調べたが、すべて題意を満たすものはない。
例えばa=9のとき 式1から
b=2のとき 111.1…≦c^d≦123.4… b=3のとき 12.3…≦c^d≦13.7… となるが表1にはこの範囲の数そのものがない。
またb=4のとき 1.37…≦c^d≦1.52… で整数値にならない。
したがって (a,b,c,d)=(2,5,9,2) つまり 2^5*9^2=2592
深いご考察と大変詳しいご解説ありがとうございました。
私も範囲を絞って調べたのですが、とてもアバウトな方法でした。
このように厳密にすれば、解はこの1通りしかないことも言えますね。
また、結局は簡明な方法はないことも良くわかりました。
大変勉強になりました。
すみません。こちらをベストアンサーに選んだつもりだったのですが、
押すボタンを間違えてしまい、No.2の方ベストアンサーがついてしまいました。
どうしたら良いのでしょう。
No.1
- 回答日時:
a,b,c,d が一桁の十進数という時点で、解の候補は 10000 通りしかない。
有限個の候補が各々、解かどうか定数時間で判定できるのだから、
数学的には、もう終わっている話。後は、バソコンにでもやらせとけ
…てのは、お好みではないんでしょうね。
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