球形の雨滴が,静止している霧のなかを鉛直に落下しながら,霧の付着
により成長する場合の雨滴の運動について考える。霧は雨滴の表面積に比
例して付着するとする。時刻t=0における雨滴の半径をr₀,落下速度を
V₀とするとき,以下の数式[A]~[G]を埋め,文章を完成させよ。ただし,dm,dr,dt,dv,dPは微小量であるとする。
解答には、途中計算も記すこと。
時刻tにおける雨滴の質量をm,半径をr,水の密度をρ(一定)とすると,
M=(4/3)πr^3ρより,dm=[A]dr -(1)
ここでは、簡単のため,単位時間に単位表面積当たり質量aの割合で霧が
付着し,雨滴が成長すると仮定する。このとき,雨滴の質量変化は,
dm=[B]dt -(2)
となる。(1),(2)よりdmを消去すると,
dr=[C]dt -(3)
なので,時刻tにおける雨滴の半径rは,
r=[D]-(4)
となる。
ここで,鉛直下方をx軸の正の向きにとり,雨滴の時刻tにおける速度を
vとする。重力加速度の大きさをgとし,空気抵抗は無視できるものとし,
雨滴に働く外力は重力のみであると仮定する。このときの雨滴の運動方程式を考える。時刻tにおける雨滴の運動量は、P=mvである。時刻t+dt
における運動量は,時刻t+dtにおける雨滴の速度をv+dv,質量を、m+dm
とすると,
P+dP=[E]-(5)
となる。時刻tと時刻t+dtの間における運動量変化は,その間に外から働
いた外力の力積に等しいので,
dP=mgdt -(6)
である。(5),(6)式より次の運動方程式が得られる。
d(mv)/dt=[F] -(7)
(3),(4),(7)式などを用いることにより,時刻tにおける速度vが求められる。
速度vをr₀,a,t,v₀,g,ρを用いて表すと,以下のようになる。
v=[G]
最後の数式[F]と[G]のところを教えてくださいませんか。
途中まではこんな感じなのでしょうか?
↓↓↓↓
[A]は,両辺を積分してM=(4/3)πr^3ρに元に戻らなければならないので
4πr^2ρ
[B]は,単位時間に単位表面積当たり質量aの割合で霧が
付着し,雨滴が成長すると仮定する。なので
4πr^2a
[C]は,2式を代入してa/ρ
[D]は,両辺積分して
r+C_1=at/ρ+C_2
r=at/ρ+C_2- C_1
初期条件より
C_2- C_1=r_0
よって
r=at/ρ+r_0
[E]は,mv+(dm)v+(dv)m+dmdv
[F]は,2式を代入して
P+mgdt=mv+(dm)v+(dv)m+dmdv
P+mgdt=P+d(mv)+dmdv
d(mv)/dt=mg-dmdv/dt
お願いいたします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
[E]
P+dP = (m+dm)(v+dv) = mv + mdv + vdm + dmdv
ですが,最終項は2次の微小量として省けます。
[F]
なかなか悩ましいですね。
d(mv)/dt = mg
mdv/dt + vdm/dt = mg
(2) より,dm = 4πr^2a dt
また,m = 4πr^3ρ/3
∴dv/dt = g - 3av/(ρr)
(4)を考慮して積分することになりますが…orz
この回答への補足
[F]
d(mv)/dt = mg
mdv/dt + vdm/dt = mg
(2) より,dm = 4πr^2a dt
また,m = 4πr^3ρ/3
∴dv/dt = g - 3av/(ρr)
(4)を考慮して積分することになりますが…
↑何をやっているのかよくわからないので、詳しく説明していただけないでしょうか。
よろしければお願いいたします。
No.2
- 回答日時:
d(mv)/dt = mg
mdv/dt + vdm/dt = mg
※これは積の微分公式を左辺に適用しただけですね。すでに問題の中で使われています。
(2) より,dm = 4πr^2a dt
※これは単に(2)の結果
また,m = 4πr^3ρ/3
※これは質量=密度×体積
dm、mを上に代入すれば
∴dv/dt = g - 3av/(ρr)
微分方程式をたてる所までは何とかできたかな?という感じです。
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