縦波の定常波について

Question

高校物理の問題です

台車の左右に音源S,SLが固定されている
Sから出た音は右方向、SLから出た音は左方向に伝わる

S,SLから波長λの音を出した。
A君が台車上を右方向に歩いたところ
音が聞こえない位置が一定間隔で存在した

（１）その感覚はいくつか
（２）SとSLの中点Oは、空気変位の腹になるか節になるか答えよ
また、Oでは最も大きな音が聞こえるか、音が聞こえないのか答えよ
ただし、どういそうの波面が、S.SLから同時に出ていくとする。
密度の時間変化が最も激しい位置で最も大きな音が聞こえる

（１）は定常波の腹の感覚でλ/2と分かるんですが、
（２）は答えが節で、最も大きな音が聞こえる　でした。

ここで質問なのですが、（２）で、まず節な理由がわかりません。
同位相の逆向きに進行する波が干渉して定常波が生じれば
その中点は腹になると思うのですが。

また、解答には中点Oにある薄い空気層は左右の空気層から常に同じ大きさで
反対向きの圧力を受けているから振動しないのであるとあります。
これもよく分からないのですが、
これを認めると、中点では常に圧力が打ち消し合って０なのだから、
圧力の変化も常に０であり、密度の時間変化も０になると思うのです

わかりづらいところもあるかと思いますが
よろしくお願いします。

rnakamra · Accepted Answer

縦波をうまく理解するのは難しいですね。
何通りか図を書いてみると分かりやすいのですが、うまい絵を描く自信がないのであきらめます。

よく縦波を正弦波の図形で表すことがありますね。
気を付けてほしいのはこのグラフの縦軸は圧力や密度ではなくその点にある物体の変位を表します。
実は密度でいうと変位"0"の点で最大と最小をとります。右肩上がりで"0"を通過する点で密度は最小に、右肩下がりで"0"を通過する点で密度は最大になります。
http://www.jsimplicity.com/ja_Report_OscillationsAndWaves_html/ja_Chapter4_Wave.html
上記サイトにあるFigure4.3をご覧ください。

定常波の場合、節の部分はある時に密度が最大になり、それから半周期経過すると密度は最小になります。密度が最大から最小まで最大の密度変化の振れを持つことができるのです!!
ただし、気を付けておきたいことは、節の点にある空気は全く変位しません。その周りの空気の変位により圧力が変化するのです。

順番が逆になりましたが、上記の表現方法を使うと中間地点での変位は常に"0"となります。右側の音源が空気を押す時左側の音源も空気を押します。この二つの音源の空気を押し引きする方向は常に逆になります。(左右対称ですから)いいかえると、一方からは正の波が、もう一方からは負の波がやってきていると考えてもよいでしょう。

ですので二つの音源の中間では押されるときは同時に押され、ひかれるときは同時に引かれるため変位は常に"0"となるのです。

分かりづらい質問で申し訳ありません。わからないようでしたら改めて補足に書いてください。

rnakamra · Answer

#1のものです。

縦波の一般的な表現では進行方向への変位を正、逆向きの変位を負とすることが多いですが、今回のような1次元系ではむしろ右向き変位を正と固定して表現したほうが楽です。波の進行方向で変位の符号の取り方が逆だと非常に考えにくいのです。
それに二つの波が同位相、同振幅で定常波を作る場合、最終的な定常波は移動しないため変位の向き自体をどのように定義するか改めて定義しなおす必要に迫られます。そのようなことを防ぐためはじめから変位の向きの符号の取り方を波の進行方向とは独立に定義しておくほうがよいでしょう。

今回の問題で次のように決めておき式を出しましょう。
右向きにx軸を取る。原点はO,OとS,SLまでの距離をdとする。
音の伝播速度をv,振幅をA,周波数をfとする。

Sから出た音での(x,t)での変位y1(x,t)、SLから出た音での(x,t)での変位y2(x,t)とすると
y1(x,t)=Asin[2πf{t-(x+d)/v)}],y2=-Asin[2πf{t-(d-x)/v}]
となります。右向き変位を正と定義したためy2の符号にマイナスがつけてあります。
右向き変位を正と定義したので(x,t)における合成変位量y(x,t)は何も考えずに単純にy1(x,t)とy(2x,t)を足し算すればよい。
y(x,t)=y1(x,t)+y2(x,t)=A[sin[2πf{t-(x+d)/v)}]-sin[2πf{t-(d-x)/v}]]
=-2Asin(2πfx/v)cos{2πf(t-d/v)}
となりますが、これは振幅2Asin(2πfx/v)で振動している波を意味しています。x=0であれば振幅は"0"です。

実際にx,d,tに適当な数字を入れて変位のグラフを書いてみるとよいでしょう。
dは固定で波長程度(=v/f)あればよいでしょう。腹が4個できるはずです。
tについては1周期で4点程度(できれば8点ぐらい取れればよりわかりやすいのですが4点でも変化は十分見て取れます)書いてみましょう。同じグラフに描くと混乱するので縦に4個並べるとわかりやすいでしょう。
xは節と腹について見れればよいのでx=0,±v/(4f),±v/(2f)で点を取り、途中の点はサインカーブでつなげてしまいましょう。

一度経験しておくとあとは頭の中で考えることができるようになると思います。面倒ですがやっておく価値はあると思います。

Quarks · Answer

図を描いてみました。
　
縦波の"変位"は、波の"進行方向と平行"であることがこの問題では重要です。
　
横波では、変位は、波の進行方向と垂直な方向ですから、変位がいくらかを評価するのに、波の進行方向を考慮する必要がありません。
たとえば、波が水平方向に進んでいるとします。しかし、変位は"鉛直"方向ですから、波の進行方向が右向きであろうと左向きであろうと関係ありません。
　
ところが縦波の場合、変位は、"進行方向と同じ向き"か、"進行方向と逆の向き"か、ですから、波の進行方向が極めて重要になります。添付図で確認してみましょう。
　
最上段は、波が無いときの媒質位置を、次の段は波が伝わっていて、媒質位置が変位している或る瞬間の状態、そして最下段は、その瞬間での各媒質の変位を"横波"のように表現したものです。
　
媒質Ａが、Ａ'まで変位している状態は、
（１）左から進行してきている縦波（Ｗ１）なら、進行方向と逆に変位しているわけですから、"負"の変位となり、波は点線の"波形"となります。
（２）右から進行してきている縦波（Ｗ２）なら、進行方向と同じ向きに変位しているわけですから、"正"の変位となり、波は実線の"波形"となります。
　
問題の、２つの波源の中点に当たる点としては、添付図で言えば、たとえばＯの点です。
例によって、時間をちょっと進めてみると、Ｏ点付近では、Ｗ１とＷ２の変位が常に同じ大きさで逆向きになることがわかるでしょう。つまり「節」になるのです。
　
単純に、横波による定常波で「節」になる点が、縦波の定常波では「腹」になる、と機械的に覚えることは感心しません。きちんと、媒質の変位をしっかりイメージして判断すべきです。
　
ちなみに、密度についても確認しておきましょう。
これも、ｙ＝０の軸を右下がりに切る点で「密」、右上がりに切る点で「疎」と、機械的に覚えていてはいけません。この「右」とは、縦波の「進行方向」のことなのだと理解していなければならないのです。
つまり、
　縦波を"横波表現"した場合、進行方向に向かって、変位＋→変位－に切り替わる点が密度が最大
とでも表現すべき状況なのです。
本問題の場合、添付図の瞬間では、Ｏ点では、Ｗ１でもＷ２でも「密」、Ｂ点では、Ｗ１でもＷ２でも「疎」です。もちろん、時間を流して観察すれば、Ｏ，Ｂどちらも、密－疎－密が周期的におこりますから、密度変化は最大、Ａは（添付図ではイメージし難いですが）Ｏ，Ｂの中点ですから密度変化が無い点だと推測できます。

縦波の定常波について

縦波をうまく理解するのは難しいですね。

この回答への補足

#1のものです。

図を描いてみました。

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