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中3です。
数学の問題でわからないものがあるので、
解説をお願いします。
<問題 1>※大分県の平成23年度の入試問題
√(2000-50n)の値が整数となるような自然数nのうち、もっとも小さいものを求めよ。
※ルート(√)の中に「2000-50n」が入っています。
[解答]
8
<問題 2>※秋田県の平成23年度の入試問題
a、b、cは連続する3つの奇数で、
0<a<b<c<100 である。
√(a+b+c)が正の整数となるaのうち、
もっとも大きなものを求めなさい。
※3行目、ルート(√)の中に「a+b+c」が入っています。
[解答]
73
これらの答えはどうやって求めるのか
よくわからないので教えてください。
どちらかの問題だけの回答でもうれしいので、
ご回答よろしくお願いします。
A 回答 (2件)
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- 回答順に表示
No.2
- 回答日時:
><問題 1>※大分県の平成23年度の入試問題
>√(2000-50n)の値が整数となるような自然数nのうち、もっとも小さいものを求めよ。
2000から50ずつ数を減らしていって、1950,1900,1850,……
2000-50n=(ある数)^2になる場合を捜すと、
1600=4^2×10^2=(4×10)^2=40^2が見つかるから、
2000-50n=1600より、50n=400から、n=8
><問題 2>※秋田県の平成23年度の入試問題
>a、b、cは連続する3つの奇数で、
だから、b=a+2,c=a+4
>0<a<b<c<100 である。
>√(a+b+c)が正の整数となるaのうち、
>もっとも大きなものを求めなさい。
a+b+c=a+(a+2)+(a+4)=3a+6=(ある数)^2 で、
a,b,cが100を越えない正の整数だから、(ある数)^2は300を越えない。
そのようなある数を捜すと、
3a+6=289=17^2 のとき、a=283/3 不適(割り切れない)
3a+6=256=16^2 のとき、a=250/3 不適
3a+6=225=15^2 のとき、a=219/3=73
よって、a=73
ご回答ありがとうございました。
まだ完全にはよく分かりませんでした。
なので参考にさせていただいて、
じっくり考えたいと思います。
No.1
- 回答日時:
>√(2000-50n)の値が整数となるような自然数nのうち、もっとも小さいものを求めよ。
√の中が( )^2となればルートが外れますね。
2000-50n=50(40-n)
=(5^2)*2*(40-n)
ここで40-n=2*m^2(mは自然数)が成り立てばルートが外れることがわかる。・・・※1
よってn=40-2*m^2
m=1のときn=38
m=2のときn=32
・
・
m=4のときn=8・・・答え
m=5のときn=-10 不適
>a、b、cは連続する3つの奇数で、
>0<a<b<c<100 である。
>√(a+b+c)が正の整数となるaのうち、
>もっとも大きなものを求めなさい。
nを自然数としたとき連続する奇数を2n+1,2n+3,2n+5と表せる(a=2n+1,b=2n+3,c=2n+5にそれぞれ対応)
√の中身が2乗になる条件を考える。
a+b+c=(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)=6n+9=3(2n+3)
上式が自然数の2乗になるためには、2n+3=3*m^2(mは自然数)であればよい。・・・※2
n=(3*m^2-3)/2
m=1のときn=0 よってa=2*0+1=1
m=2のときn=2/3 不適
・
・
・
m=5のときn=3 よってa=2*36+1=73・・・答え
m=6のときn=105/2 不適
m=7のとき72 よってa=2*72+1=145 不適
どちらの問題も同じパターンですね。
※1、※2がポイントです。よく考えてみてください。
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