∞：１＝∞：０は否定できませんか？

哲学上の思索で生きることに価値を持たせたいと思っていて、要は質問の∞対１＝∞対０を覆したいと思っているのですが何かこの等式を不成立にさせる考え方は存在しませんか？

馬鹿げた質問だと思われましてもどうか憤慨なさらないようお願い申しあげます。

※ゲーテルの不完全性定理等による数学自体を覆すやり方は無しとします。

No.14 回答者： alice_44 回答日時： 2012/09/17 21:54

約分の書き違いよりも、

連比に括弧をつけたことに問題を感じる。
例えば、
2:3=10:15 だが 2:3:1=10:15:1 ではないので、
(2:3):1 という書き方はよくない。
RP2 は (RP1)P1 とは解釈できない。
この点は、A:B=(A:C):(B:C) でも
∞:1=(1:0):1 でも同じこと。

この回答へのお礼

よくわかりませんが、ご私的感謝します。

お礼日時：2012/09/23 14:15

No.13 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/09/16 14:53

>(A:C):(C:B) は、マズかろうよ。

まずかった。
すみません。

A : B = (A : C) : (B : C)

ですから、B≠C 、つまり (B : C) ≠ 1 : 1 の場合は、A : B ≠ A : C なのじゃ？

　　

この回答へのお礼

わざわざ訂正感謝します。

お礼日時：2012/09/23 14:14

No.12 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/09/16 14:34

>(A:C):(C:B) は、マズかろうよ。

比ハ分数也。

この回答へのお礼

１３へ

お礼日時：2012/09/23 14:13

No.11 回答者： kabaokaba 回答日時： 2012/09/16 10:39

まあ，こんなことを「哲学」だの「思索」だのと絡める人には

数学の立場から何を言っても大抵無駄なんですよねー
「自分のほしい答え」とかが無意識にしろ実はあって
それと違うものを否定するから(^^;
ついでにいうと
「背理法と哲学」なんて言い出す人も同じ傾向があると思う

閑話休題

数学ってのは定義がないと何もできない上に
定義が違うと話ががらっと変わる．
だから実は数学では「無限」なんてのものを明確には一切定義してないわけです

同様のほかの質問ですでに指摘があるように
実際数学で扱うもので日常語の「無限」に相当するものは複数存在するのです

「無限遠点」（一変数複素解析にでてくる）
「無限大に発散」（極限の話のあれ）
「無限集合」（「明確に定義される有限集合」ではない集合）
これらが例示されてたわけで，実はみんな別の数学的定義があって
扱いが全部別．しかしどれも「日常的な意味の無限」のある側面をもち
ある側面は持たないのです

「無限」ってのは多層構造というか一つのものではなくて
一種の総称のようなものだろうというが私の感覚で
個人的には「無限」とかいわれたら「どの無限？」と返すわけです．

さてさて・・・「∞：1」みたいな表記を数学で考えると
私だったら「射影平面」を思い出します
もちろん，普通はこんな「∞：1」なんていう乱暴な表記はしないものですが．

話を簡略化するために実数だけで．
三つの実数の比の集合
X={ a:b:c | a,b,cのどれか一つは0ではない }
というのを考えます．
つまり0:0:0以外の比を全部持ってくるわけです．

すると，このXの要素で例えば
1:1:1と2:2:2ってのは「同じ」でしょう．
比ってのは「同じ数で割ったものは同じ」だから．
そこで，[a,b,c]という記号で
「a:b:cと同じになる比」を全部集めたものを表すとします
[1,1,1]={1:1:1, 2:2:2, 0.5:0.5:0.5,・・・}みたいな感じです．

さて[a,b,c]ではa,b,cの少なくとも一つは0ではないのだから
[a,b,c]の全体の集合はじつはx,yを実数として
[1,x,y], [0,x,y]という二種類のものに分類できます．

つまり，aが0のときはそのまま（x=b,y=cとする），
aが0ではないときは
比a:b:c=1:(b/a):(c/a)なので，[a.b.c]は[1,(b/a),(c/a)]となり
x=b/a, y=c/aとおくわけです

そこで[1,x,y]を考えるとこれは1:x:yと同じ比のもつ集まりなんですが
最初を「1」と決め打ちしてるので実は(x,y)と書いても困りません
[1,x,y]=(x,y)です
例えば，[2,4,6]=[1,2,3]=(2,3)です．
こうすると，[1,x,y]ってのは普通の平面の点のことです
では
[0,x,y]の方はなんでしょうか．
aとbが0ではないとして，[a,b,c]を例えばbでわると
[(a/b),1,(c/b)]になります．
ここで，「bを無限大にする極限」（これは数学で許されているあの極限）をとると
a/b -> 0 c/b -> 0ですので
これは
[0,1,0]というものに近づくと見ていいでしょう

では
[a,b,kb]というタイプでaとbが0ではないときにb->∞とすると
[0,1,k]に近づきます
[a,kc,c](aとcは0ではない)のときc->∞とすると
[0,k,1]に近づきます
＃ほかにもいろいろなb,cのとりかたはあるけど
＃[0,X,Y]の形には近づく

とすると，
[0,x,y]というタイプのものは
[1,x,y]のタイプのもの（つまり平面）の「無限大の彼方」にあるものだとみなせます
さらに
[0,x,y]のタイプではxとyのどちらか一方は0ではないので
[0,x,y]は
[0,1,y]と[0,0,1]の二つのタイプにわかれます

以上より
比x:y:zってのは[x,y,z]を経由して
平面と[0,1,y]，[0,0,1]に分かれます
＃平面に直線と一点を追加すると「比全体」になるという話で
＃これは数学では「射影平面」と呼ばれる重要な対象で
＃[0,x,y]の集合は無限円直線と呼ばれますが，実は「円周」とみなせます

x:y:zと[x,y,z]ってのはここまでくれば
いちいち区別して表記する意味はありません
＃実際は最初からないんだけど，オンラインで書いてるから
＃そういことはつっこまないで・・幾何の本見ればこんなのはよくでてるから

さてさて・・長い前置きですが
ここで，0:1:yのタイプの比を考えると
0:1ってのは「∞」とみなしていいでしょう
逆に言うと「比0:1を∞という記号で表す」という
有識者に怒られそうな書き換えをします.

0:1:1と0:1:0ってのは無限遠直線の「異なる二点」であり
上の記法を用いれば
0:1:1は∞:1，0:1:0は∞:1です
だから当然
∞:1と∞:0は違うもの
もっといえば
∞:(-2)とか∞:0.5とかぜんーぶちがう

これは∞というものを「無限遠直線の上にある」みたいに定めたからでてくる話.


==============
まったく同じことだけど

実3次元空間の平面で0をとおるもの
ax+by+cz=0
ってじつはa:b:cそのものです
となると
y+z=0という平面は「0:1:1=∞:1」に
y=0という平面は「0:1:0=∞:0」に相当し
当然これらの平面は異なるもの
上の射影平面は「空間中の原点を通る平面の集合」とみなせます
上の比の議論は
「原点を通る平面」に置き換えることは容易で
じつはまったく同じものを表現を変えてるだけです.

こういう風な考え方もあるわけで
無限ってのはどう定めてどう考えるかで
姿が変わるので「万能な無限の定義」なんかはないのです

この回答へのお礼

＞「自分のほしい答え」とかが無意識にしろ実はあってそれと違うものを否定するから(^^;
それは確かに私にもないとは言い切れません。ですが誰にでもあることですしアインシュタインだって量子論を受け入れられませんでした。
確かに哲学をかじる人にその傾向はあると思いますが私もソクラテスに習い、できるだけ先入観をなくして聞くようにしますからそんな一緒くたに馬鹿にしないでください。もちろん私がそのたぐいの人間だと思えば馬鹿にして頂いて構いませんよ。

＞「無限」なんてのものを明確には一切定義してないわけです
皆様の回答を受けて調べてみてわかりました。数学でもこんなことがあるんですね。

＞「無限」とかいわれたら「どの無限？」と返すわけです．
前の回答者様にも述べましたがこれは私の勉強不足ですね。無限を簡単な概念だと思っていました。少しだけ勉強してみます。


私が高等数学でも商業系なので殆ど知識がないのですが論理性を持って話されていることはわかります。
もちろん論理の過程や中身は全くと行っていいほどわかりませんが。


ですがわかったことはあります。思弁的（主観的）なことに無限を扱うには誰でも同じ結論が引き出せるほど確実でない限り扱うべきではないということですね。軽々しく無限を引き合いに出していた私にとっては十分な収穫です。
ブレーズ・パスカルのような数学者（一面では）がしきりに無限だとか永遠を著書で強調しているので簡単なものかと思ったんですが比喩なんですかね。

丁寧なご回答本当にありがとうございました。


※繰り返して文章は素晴らしいですが一緒くたに決め付けるような最初の文章は玉に瑕ですよ。

お礼日時：2012/09/23 14:13

No.10 回答者： alice_44 回答日時： 2012/09/15 23:24

(A:C):(C:B) は、マズかろうよ。

この回答へのお礼

ありがとうございます。（私が間違わないよう指摘してくださり）

お礼日時：2012/09/23 13:55

No.9 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/09/14 19:43

>∞：１＝∞：０ を覆したい…

普通の「算術モデル」じゃ、もともと成立しない「等式」です。
A : B = (A : C) : (C : B) ですから、B≠C 、つまり (C : B) ≠ 1 : 1 の場合は、A : B ≠ A : C なのじゃ？
この場合は、∞：１＝(∞：0) : (0 : 1) だともいい兼ねますけど…。

哲学的に考察なさるのなら、それに即した「哲学モデル」でもお考えください。

　　　

この回答へのお礼

そうですか。。。

哲学モデルといっても概念が全くつかめないので苦労していて、、、
数学畑の人なら私のように数学の知識がなくても明確に扱う方法を教えてくれるのではないかと思って質問したんです。

何か扱う方法はないものですかね～

ご回答ありがとうございました。

お礼日時：2012/09/23 13:46

No.8 回答者： alice_44 回答日時： 2012/09/14 14:58

コロンが見えますねえ。

∞:1 とか ∞:0 とか、普通の数学では定義しないです。
a:b = c:d は、通常、実数 a,b,c,d に対して、
0 でない実数 r が在って a = cr かつ b = dr が成り立つ
ことを表す式です。
∞ は、実数ではありませんね？

この質問を数学の問題として議論するためには、
まず ∞:1 と ∞:0 を定義することが必要です。
∞:1 = ∞:0 が成り立つか成り立たないかは、その定義次第
でしょう。

面白い議論になるかも知れません。
どうぞ、貴方の定義を書いてみてください。

この回答へのお礼

そう言われましても無限は思考の上でしか扱ったことがなく数学の素養がない私にはできません。。。

ただ調べてみたところ無限大は数ではないと知りびっくりしました。よくわかんないですね。

また実数として扱う場合には∞（+∞）と書けばよかったり、、、

無限一つも扱い方によってあらゆる風に変化することを知りました。
ただ漠然と”どの実数よりも大きな数を持つ数でしょ”と思って質問した自分が間違っていましたね。

ご回答ありがとうございました。

お礼日時：2012/09/23 13:44

No.7 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2012/09/14 11:51

No.5です。

一つ忘れてました。

∞というのは特定の数を表すものではないため、そもそも∞:1のような比率はあり得ません。不定形となってしまいます。

この回答へのお礼

そうなのですか

ご回答ありがとうございました。

お礼日時：2012/09/23 13:23

No.6 回答者： birth11 回答日時： 2012/09/14 10:41

∞ / 1 = ∞ / 0 …………(1)

∞ / 0 = x を満たす x が存在するか。
この両辺に 0 をかけると

∞ = x * 0 = 0 となり x がどのような値でも、∞ = 0 とはなり得ない。
このとき、x の解は 不能という。

ただし、
∞ / 1 = ∞ / lim ( x が 0より大きく無限に 0 に近づく) x …………(2)
と考えた場合

(2)より、(左辺) = ∞…………………………………(3)

(2)より、(右辺) = ∞ / ( + 0 ) = ∞ …………………(4)

(3)、 (4) より (2) は成り立つ。
よって、(1)は

∞ / 1 = ∞ / ( + 0 )

と書くべきです。

この回答へのお礼

（２）は数学で行なっても良い動作なんですかね？私もそのように考えたので成立するかもと思ったのですが他の方の回答を見ているとダメな気がして来てしまうのですが。。。

ご回答ありがとうございました。

お礼日時：2012/09/23 13:26

No.5 回答者： ngkdddjkk 回答日時： 2012/09/14 02:07

No.4の方の書き込みで、昨日読んだ本を思い出しました。

無限集合を扱う場合には、排中律は用いてはならないということが、ブラウワーにより考察されています。
すなわち、ある無限集合Aの存在する要素xの最も大きい物を∞という記号とおくとすると、タイトルの∞：１＝∞：０という式は「全ての」Aの要素に対して成り立つか成り立たないかを精査する必要がある。
(因みに、『ある無限集合Aの存在する要素xの最も大きい物を∞という記号とおく』という言葉自体も曖昧になってくる)

しかし、原理的に無限個ある物を精査することは原理的に不可能であるので、質問の式が等式か不等式かを判断する術はありません。

この回答へのお礼

難しいですね

ご回答ありがとうございました。

お礼日時：2012/09/23 13:21