直線の通過範囲

実数ｔに対して、xy平面上の直線(l-t^2)x-2ty=1+t^2は、ｔの値によらず
ある円C接しているものとする。

（１）援Cの方程式を求めよ。
また、接点の座標は？

（２）ｔがｔ≧1の範囲を動くとき、直線の通過する範囲を図示せよ。


難易度は少し高めみたいです…。

解ける方がいらっしゃいましたら
解説お願いしますm(__)m

No.4 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2012/10/13 14:26

(1)については　判別式=0から出る円と直線を連立しても出る。

計算は大変だが。
(2)については　次のようにするのが一般的だろう。

動くのはｔだから　それに揃える。
f（t）=（1+x）t＾2+2y*t+（1-x）=0とすると、ｔ≧1に少なくても1解を持つ条件として求められる。
(1)1+x=0の時　y*t=1　だから　ｔ≧1より　y≠0で　｜1/y｜≧1
(2)1+x≠0の時　上に凸か、下に凸か　わからないので　1+xで両辺を割ってやる。
f（t）=t＾2+（2y）/（1+x）*t+（1-x）/（1+x）=0において
・2解がｔ≧1の時　判別式≧0、f（1）≧0、軸≧1
・1解がｔ≧1の時　f（1）≦0


(2)は極めて常識的問題だが、むしろ(1)の方が面倒かもしれない。

No.3 回答者： mister_moonlight 回答日時： 2012/10/13 13:16

普通は＃1の方法でやるだろうが、先ず問題を良く見る事。

そうすれば、問題の背後に隠れているものが見えてくる。
気がつけば、単純な問題。包絡線がbaseになってる問題。

tanθ/2=tとすると、（l-t^2)/（1+t^2）=cosθ、（2t）/（1+t^2）=sinθ　だから　
(1)
その直線は、cosθ*x-sinθ*y=1.
従って、この直線は　円：x＾2+y＾2=1　上の点（cosθ、-sinθ）における接線に他ならない。

(2)
tanθ/2=t≧1だから　θ≧π/2.
従って、接点が　θ≧π/2　だから　この円周上を　接点をその範囲で動かすと　接線の通過領域は自明。

No.2 回答者： kacchann 回答日時： 2012/10/13 02:34

(1)3つの直線

y=1, y=-1, x=1・・・(A)
を接線に持つ円の方程式は、
求められますか？

(A)はどこから出てきたのかといえば、
tに0,1,-1などを代入してみてください。

(2)接点の動く範囲を求めれば
その接線の動く範囲も明らか。

接点の座標については、円の接線の式を
Bx+Cy=1の形にすれば、
(B,C)が接点だったような。
---

ちなみに
神戸大学文系2002年の問題。

No.1 回答者： gohtraw 回答日時： 2012/10/13 02:27

(l-t^2)x-2ty=1+t^2　をｔの二次方程式と考えて、これを満たす実数ｔが存在する溜めの条件、つまり判別式＞＝０とおけばｘｙ平面上の円の式が出てくるはず。

直線(l-t^2)x-2ty=1+t^2の傾きは（１－ｔ＾２）／２ｔで、これと円Ｃの接点をＰとすると、Ｐを通る半径の傾きは２ｔ／（ｔ＾２－１）になり、実は円Ｃの中心はｘｙ平面の原点にあるので、接点Ｐは直線ｙ＝２ｔｘ／（ｔ＾２－１）　上にある。二つの直線の式を連立させれば接点が求められるかな？

この回答へのお礼

実際にやってみました^^*
ありがとうございました。

お礼日時：2012/10/18 22:57