Ｌ(t)(tのラプラス変換)

Ｌ(t)
=∫[0～∞] t*e^(-st) dt
から綺麗にこれを積分する方法はあるのでしょうか？教えてください

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/10/16 23:37

実のところ, ロピタルを使うまでもなく「この積分が意味を持つ」ためには

te^(-st) → 0 as t → 0
じゃないと困りますよね＞#3. 被積分関数を満てみれば....

この回答への補足

すみません 0 as tとはなんですか？

補足日時：2012/10/17 16:32

No.4 回答者： ereserve67 回答日時： 2012/10/16 20:56

ＡNo.3の補足について

>今回の場合
>lim[T→∞]Te^(-sT)/-s
>=lim[T→∞]T/-s*e^st
>(sが正のときロピタルの定理より)
>=lim[T→∞]1/(-s^2)*e^st
>=0

その通りです．

一般にラプラス変換ができる関数は通常指数位数の関数を想定しています．それは

関数f(t)が指数位数である⇔ある正の数M,σがあってｔ≧0において常に|f(t)|<Me^{σt}となる

ということです．多項式t^nは指数位，指数関数e^{at}(a>0)も指数位です（前者はロピタルの定理などで証明でき，後者はσとしてaより大きな正の数をとればよい）．このような関数で，区分的に連続なら常にラプラス変換が存在します．

|Ｌ{f}(s)|≦∫_0^∞|f(t)|e^{-st]dt<M∫_0^∞e^{-(s-σ)t}=M/(s-σ)(s>σ)

となるからです．

指数位数でない関数の例としてf(t)=e^{t^2}というのがあります．これは超爆発的に増大する関数でこのような関数のラプラス変換は普通考えません．しかし，例外としてディラックのδ関数などはインパルス信号としてどんどん扱うことがあります．しかし，これも気をつけて扱わないと思わぬ矛盾した式が得られることがあります．

ラプラス変換のいろいろな例はやはり「岩波の数学公式」にのっています．

この回答へのお礼

分かりました
詳しくありがとうございました

お礼日時：2012/10/17 16:34

No.3 回答者： ereserve67 回答日時： 2012/10/16 17:44

失礼します．ANo.1,2の補足について．

s>0のとき

lim_{T→∞}Te^(-sT)=lim_{T→∞}T/e^{sT}

について，そのままでは不定形（∞/∞）です．これについては，

ロピタルの定理：「x→∞のときｆ（x）→∞，g(x)→∞なら，

lim_{x→∞}f(x)/g(x)=lim_{x→∞}f'(x)/g'(x)

である」があります．これを使うと，

lim_{T→∞}T/e^{sT}=lim_{T→∞}(dT/dT)/(de^{sT}/dT)=lim_{T→∞}{1/(se^{sT})}=0

となります．

一般にe^{-sT}(s>0)はT→∞のとき十分早く0に近づくので多項式T^n(nは自然数）程度の∞をかけても0に近づきます．

応用数学ではこれは常識的に使います．

実際，何度もロピタルの定理を使えば

lim_{T→∞}T^n/e^{sT}=lim_{T→∞}(n!/s^ne^{sT})=0

この回答への補足

今回の場合
lim[T→∞]Te^(-sT)/-s
=lim[T→∞]T/-s*e^st
(sが正のときロピタルの定理より)
=lim[T→∞]1/(-s^2)*e^st
=0
ということでいいのでしょうか？

補足日時：2012/10/16 18:01

No.2 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/10/16 17:09

方針はそれで OK.

あとは, ∞ までの積分だから広義積分として扱うことになります. つまり
上限をいったん T とおいて 0 から T までの積分を行い, 改めて T→∞ の極限を求める
という操作が必要です.

もちろんラプラス変換なのでこの極限が求まるような s であることにも注意.

この回答への補足

[te^(-st)/-s]0～∞
=lim[T→∞][te^(-st)/-s]0～T
=lim[T→∞]Te^(-sT)/-s - 0
=lim[T→∞]Te^(-sT)/-s
ということですか？結局∞*0になってしまいます

補足日時：2012/10/16 17:21

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/10/16 16:31

基本的には部分積分.

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7751128.html
とは違う考え方があるよね?

この回答への補足

Ｌ(t)
=∫[0～∞] t*e^(-st) dt
=∫[0～∞] t*{e^(-st)/-s}' dt
ですか？
Ｌ(t)
=∫[0～∞] t*{e^(-st)/-s}' dt
=[te^(-st)/-s]0～∞ -∫0～∞ e^(-st)/-s dt
=[te^(-st)/-s]0～∞ -[e^(-st)/s^2]0～∞
=[te^(-st)/-s]0～∞ +1/s^2
となりました
[te^(-st)/-s]0～∞は∞*0となってしまい、わかりません
どうすればよいのでしょうか？

補足日時：2012/10/16 16:56