
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
>三次関数です!
その多項式を、
y = x^3 + ax^2 + bx + c …(*)
としましょうか。
「極値をもたない」というのは、(*) のグラフを描いたとき、アップ→ダウン→アップの個所が無い、ということ。
つまり、(*) の導関数
y' = 3x^2 + 2ax + b …(**)
が実根をもたないこと。
>…1つの実数解をもってしまうと、極大か極小どちらか1つをもってしまう可能性がありますよね?
「(**) のほうに着目」してる、ということかな。
「1 つの実数解をもって」いるなら、「極大か極小どちらか 1 つ」が現れそうだ、ということ?
「1 つの実数解をもってしまう」と、もう一つも実数。
ただし、「重根」という例外があり得ます。「重根」ペアなら、アップ→ダウン→アップの個所はありません。
「異根」ペアなら、「極大か極小どちらか 1 つ」とはいかず、双方とも現れます。
No.3
- 回答日時:
3次関数が、極値を持たない場合は2つある。
(1) 単調増加の時 (2) 単調減少の時
いずれにしても、f´(x)を考える事になるが、“実数解もつか もたないか”ではない。
判別式≦0という点では一致するが、条件はそれだけではない。
No.2
- 回答日時:
おそらく三次関数
f(x)=ax^3+bx^2+cx+d(a≠0)
が極値をもたないための条件でしょう.
f'(x)=3ax^2+2bx+c
の符号が変化しなければよい.そのためには
(☆)常にf'(x)≧0または常にf'(x)≦0
です.だから2次方程式f'(x)=0について
>1つの実数解もつかもたないか。ですよね?
その通りです.
>でも1つの実数解をもってしまうと、極大か極小どちらか1つをもってしまう可能性がありますよね
いいえ.それはありません.条件(☆)には等号も含んでいるからです.
多分質問者様は
「f'(a)=0⇒f(a)は極値である」
とお考えなのではないですか.これの有名な反例は
f(x)=x^3
です.f'(x)=3x^2=0は一つの解x=0をもちますが,常にf'(x)≧0(等号成立はx=0の時に限る)なので常に増加し極値をもちません.
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