No.2ベストアンサー
- 回答日時:
P:-n≦x≦2n, Q:xx-6x-16≦0
命題 P⇒Q
Q:xx-6x-16≦0 ⇔ (x-8)(x+2)≦0 ⇔ -2≦x≦8
つまり、命題は
-n≦x≦2n ⇒ -2≦x≦8
を満たす自然数nを求めれば良いから、n=1, 2の時のみ。∴個数は2個
(P⇒Qと言う事は P⊂Qでなくてはならない 例えばn=2の時はP:-2≦x≦4で満たしているが、n=3の時はP:-3≦x≦6でこれを満たさなくなるのでn=1,2の時のみになる)
逆はP⇐Q つまり Q⇒P だから
-2≦x≦8 ⇒ -n≦x≦2n
になり Q⇒P を満たすには Q⊂P 。
つまり PはQと同じ、またはそれより広くないといけないから
"-n≦-2 かつ 8≦2n" ⇔ "2≦n かつ 4≦n" なので
∴4≦n
(Q:Q0≦x≦Q1、P:P0≦x≦P1として
Q⊂P ⇔ P0≦Q0 かつ Q1≦P1)
No.6
- 回答日時:
「集合と論理」なるタイトルに引っ掛かりました。
(内容は高校数学だけど、もしかして大学でやってたりするんでしょうか?)● 問題の「命題」は命題になっていない。自由変数n, xが残っているから、実はこれは述語
P(n,x) : n∈N∧ x∈R ∧ ((-n≦x ∧ x≦2n) ⇒ x^2-6x-16≦0)
のことだな、と読み替えねばならない。
こんなことじゃ「集合と論理」なる看板がスタル。
● 「この命題が真となる自然数n」もおかしな話で、述語
Q(n) : ∀x P(n,x)
が真になるようなnを指しているんだろうな、と読み替えねばならない。そういうnの集合をXとすると
X = {n | ∀x Q(n)}
であり、Xの濃度(要素の個数)を求めるという問題。
こんなことじゃ「集合と論理」なる看板がスタル。
● 「逆」というのは
S(n,x) : n∈N∧ x∈R ∧ (x^2-6x-16≦0 ⇒ (-n≦x ∧ x≦2n))
のこと。問題が求めている「真になるためのnの条件」をn≧tとすると、(必要十分条件とは限定していないのだから、)これは十分条件という意味でなくてはならない。つまり、
Y = {t | t∈R ∧ (n≧t ⇒∀x S(n,x))}
の要素ならどれでもいい。
既に出ている回答によればn≧4が必要十分条件らしいんで、だったら、
Y = {t | t∈R ∧ t≧4}
(つまり「??≧4」)が答。
というのでなくちゃ「集合と論理」の看板がスタル
と思うんですけどぉ
No.5
- 回答日時:
No.4の回答ですが、5行目に誤りが有りましたので、訂正します。
(訂正前)
2≦x≦8をAとして、真偽を表にすると、下記のとおりになります。
(訂正後)
-2≦x≦8をAとして、真偽を表にすると、下記のとおりになります。
また、表が見にくくて申し訳ありません。
n...............1...............2...............3...............4...............5...............6・・・・
-n.............-1.............-2.............-3..............-4..............-5..............-6・・・・
2n.............2................4...............6...............8...............10............12・・・・
A..............真..............真.............偽.....,........偽..............偽............偽・・・・
No.4
- 回答日時:
xの二乗-6x-16≦0の式を因数分解すると、
x^2-6x-16=(x-8)(x+2)≦0となり、この条件を満たすxの範囲は
-2≦x≦8です。
つまり、命題「-n≦x≦2nならばxの二乗-6x-16≦0」が真となる自然数nを求めるという問題は、「-n≦x≦2nならば-2≦x≦8」となるnを求めることに置き換えが可能です。
2≦x≦8をAとして、真偽を表にすると、下記のとおりになります。
n 1 2 3 4 5 6 ・・・・
-n -1 -2 -3 -4 -5 -6 ・・・・
2n 2 4 6 8 10 12 ・・・・
A 真 真 偽 偽 偽 偽 ・・・・
この表は、「n=1の時、-n=-1,2n=2であり、xは-1から2の範囲になるが、-2≦x≦8の範囲内におさまっているので真である」というように見ます。
一方、「n=3の時、-n=-3,2n=6であり、xは-3から6の範囲になるが、-2≦x≦8の範囲内におさまっていないので偽」となります。
よって、答えはn=1,2の2個です。
この命題の逆は「xの二乗-6x-16≦0ならば-n≦x≦2n」であり、これが真となるnを求めることとします。
これも、「-2≦x≦8ならば-n≦x≦2n」となるnを求めるという問題に置き換え可能です。
xの範囲の両端にある-2と8に注目してみましょう。
x=-2の場合、-n≦x≦2nを満たす自然数nは2以上であることがわかります。
(n=1の場合は、-n≦x≦2nが-1≦x≦2となり、x=-2の条件に適合しません。)
次に、x=8の場合は、-n≦x≦2nを満たす自然数nは4以上であることがわかります(n=1,2,3は不適合)。
つまり、逆の命題をみたすnはn≧4となります。
n 1 2 3 4 5 6 ・・・・
-n -1 -2 -3 -4 -5 -6 ・・・・
2n 2 4 6 8 10 12 ・・・・
No.3
- 回答日時:
← A No.2 : 業務連絡
論理式 P⇒Q のことを P⊃Q と書く記号法も存在するので、
(Pが成り立つようなxの集合)⊂(Qが成り立つようなxの集合)
という意味で P⊂Q と書いてしまうのは、混乱のもと。
P, Q は、集合ではなく、あくまで論理式の名前だから…
No.1
- 回答日時:
自然数の意味は分かりますよね
因数分解すればよいと思います。
全部で8個かな?
>また、この命題の逆が真になるためのnの条件は、n≧??である。
逆の意味がよくわかりません。
グラフをヒントにして考えてください
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