ケプラー時間について

このケプラー時間というものはどうやって導出するのですか？
また、ケプラー時間とは何なのでしょうか？
わかりやすく教えてください。

No.3 ベストアンサー 回答者： ereserve67 回答日時： 2012/10/27 13:23

太陽系の惑星が楕円軌道を描くことは，大学初年級力学で学ぶはずです．どんな教科書にも載っています．極座標で結果だけを示すと，

r=l/(1+εcosθ)

この楕円軌道の長軸半径をa，短軸半径をb，面積速度をh/2(=(1/2)r^2dθ/dt)とすると，

（☆）b=h√{a/(GM)}

の関係があります．公転周期Tは

T=(面積)/(面積速度)=πab/(h/2)=2πab/h=2πa^{3/2}/√(GM)=2π√{a^3/(GM)}

となります．これを使って平均角速度

Ω=2π/T=√{GM/a^3}

を定義し，その逆数をとると

Ω^{-1}=(GM/a^3)^{-1/2}

となります．

※☆の導出．解析幾何学によりa=l/(1-ε^2),b=l/√(1-ε^2)，Newton力学よりl=h^2/(GM)の関係があるので

b=a√(1-ε^2)=a√(l/a)=√(al)=h√(a/GM)

Newton力学というのは運動方程式の時間を消去すると，

d^2(1/r)/dθ^2+1/r=GM/h^2

と変形されることを言います．この方程式の解は

1/r=Acos(θ-α)+GM/h^2

すなわち

r=1/{Acos(θ-α)+GM/h^2}=l/(1+εcos(θ-α))

と書かれます．ここに

l=h^2/(GM)

ε=Ah^2/(GM)

とおきました．

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2012/10/26 17:30

ケプラー時間はなんだかよくわかりませんが、

これは惑星の角速度の逆数です。a は軌道半径。
遠心力=重力で簡単にもとまります。

この回答への補足

逆数にすると何になるのでしょうか？

補足日時：2012/10/27 00:03

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/10/26 11:32

分かるといえば分るんだけど, それぞれの記号が何を表すのかくらい書いてください.

この回答への補足

添付画像において、Gは万有引力定数、Msunは太陽の質量、aは惑星と太陽間の距離となっております。教えていただけたら幸いです。

補足日時：2012/10/27 00:02