外積はなぜ2階のテンソルなのですか？

Question

昨日も質問させていただきましたが，もう一度質問させてください．

以下，クロネッカーのデルタとエディントンのイプシロン及びニュートンの総和規約を使っています．

内積はu・v=(δij)(ui)(vj)と表され，u,vの2つと縮約をとってやっとスカラー(0階テンソル)になるので内積を表すテンソルは2階テンソルだと思います．

外積はu×v=(εijk)(uj)(vk)と表され，u,vの2つと縮約をとってもまだベクトル(1階テンソル)です．外積操作が2階のテンソルならこの時点でスカラーになるはずですが，実際はベクトルになります．これは1階高い3階のテンソルだからなのではないのですか？

そして，ここでwとの内積をとるスカラー三重積(u×v)・w=(εijk)(uj)(vk)(wi)はスカラーであり，スカラー三重積を表すテンソルは3階のテンソルで間違いないですか？

以上ですが，できれば上の文章のどこが間違っているのかを指摘してくださればありがたいです．

noname#165208 · Accepted Answer

> 内積を表す関数T(u,v)=u・vは2つのベクトル(1階テンソル)の関数であり，双線形性を有するからTは2回テンソルですよね？では

その通り。正確にいうと ２階・非退化・対称・共変テンソル

> 外積を表す関数S(u,v)=u×vについて，Sは何階のテンソルでしょうか，という質問です．

そういう質問でしたか。
はい、これは反変ベクトル u, v について反対称・双線形で、反変ベクトルに値をとるから、
２階共変、１階反変の３階・混合テンソルです。成分で書くと、

ε^i_{ j, k }

ですね。
これはエディントンの反対称３階共変テンソル（体積要素）

ε_{ i, j, k }

の添字 i  を上げただけだと思う。
貴方のいう外積は外積演算のルールで、その本質はエディントンのεなんですよ。
でもそれを外積とはふつう呼ばないですよ。

alice_44 · Answer

混乱しているのは、既に誰かが指摘していたけれど、
外積の値のテンソル型と、外積を二個のベクトルと
係数テンソルの縮約と見たときの係数テンソルの型
とをゴッチャにしたからですよ。

また、ひと口に「外積」と言っても、
高校やベクトル解析で言う「外積」と
テンソル代数で言う「外積」は別のモノです。
前者を「クロス積」、後者を「ウェッジ積」と呼んで
区別する場合もあります。

前回質問のベストアンサーで「外積は 2 階」とあるのは、
ウェッジ積の値が反変 2 価のテンソルだということ。

また、今回の A No.4 で「3 階」となっているのは、
クロス積の係数が共変 3 価のテンソルだという意味です。
これには少し誤解があって、クロス積の係数である
エディントンの ε は、実は、テンソルではなく、
擬テンソル(重み -1、共変 3 価の)なんですけどね。

参考↓
http://members.jcom.home.ne.jp/1228180001/whats%20tensor15.htm
http://hooktail.sub.jp/differentialforms/AxialPolarSecret/

noname#171951 · Answer

Rを実数全体とします。
x[1],…,x[n-1]∈R^nについて、
f(v)=det(x[1],…,x[n-1],v)
とするとfは線形なので、Rieszの表現定理から
あるy∈R^nが一意的に存在して<v,y>=f(v)
となります。
このyをx[1],…,x[n-1]の外積といいます。

v=(v[1],…,v[n])^T∈R^nに対してp[k](v)=v[k]
と置くと、(x[1],…,x[n-1])∈(R^n)^(n-1)にp[k](y)
を対応させる写像ははn-1重線形なので、
(n-1)階テンソルになります。

しかし、(x[1],…,x[n-1])∈(R^n)^(n-1)にy、
つまりx[1]×…×x[n-1]を対応させる写像は、
値が実数ではないのでテンソルにはなりません。

つまり、(n-1)階かn階かということ以前に、
n-1個のベクトルにその外積を対応させる写像は
そもそもテンソルですらないということです。
もちろんn=3でも同じです。