最小公倍数と最大公約数でわからないことがあります

例えば24と20という数字があって
この二つの共通の素因数2でわると
それぞれ12と10
さらに共通の素因数2でわると
それぞれ6と5
6と5は互いに素

この素因数を掛けて　2×2=4　最大公約数4
互いに素の6と5を掛けて6×5=30 この30を共通の素因数の2×2
をかけて120
この120が最小公倍数
となると参考書に書いてあるのですが
なぜこのような計算をして最大公約数と最小公倍数を求めてることが出来るのでしょうか?
センター試験のために数Aの勉強をしているのですが
そこまで考えずに、この計算をすると、それが求められるのだと
丸暗記するしかないでしょうか?
出来れば理解をしたいと思っています。よろしくお願いします。
あまり数学が得意ではないので簡単な表現で説明していただけると助かります。

No.5 ベストアンサー 回答者： alice_44 回答日時： 2012/12/05 22:30

自然数 A, B の最大公約数が g、

更に A=ga, B=gb であるとき、
A, B の最小公倍数は gab である
…ことを確認/証明したいなら、
以下の二段階を踏めばいい。
(1) a, b が互いに素なとき、
a, b の最小公倍数は ab。
(2) a, b の最小公倍数が L であるとき、
ga, gb の最小公倍数は gL。

No.4 回答者： B-juggler 回答日時： 2012/12/05 18:51

そうですね、これは・・・。

確かに分かったから何かあるのか？って言うのは難しいですね。

Ｎｏ．１さんが　素因数分解をされてますね。これは大事ですよ。計算を簡単にするとか、

１００１は７で割れるか？　って時なんかにも使えます。

　１００１＝７×１１×１３　なので　７で割り切れます。
　こんな感じ。

Ｎｏ．２さんが数学的な言葉で書かれているので、σ(・・*)たちはこれでいいけれど＾＾；
言葉が難しいのかな？？

約数は分かりますか？　簡単に言えば「割り切れる数字」です。
２４：１，２，３，４，６，８，１２，２４　かな
２０：１，２，４，５，１０，２０　かな

「公約数」って言うのは二つ（いくつでもいいのだけど＾＾；）の数字の両方（！）で
　割り切れる数字（約数）なんですね。
　こうやって書いて　１，２，４　って出してもいいんです。

最大公約数ですから、一番大きな数字は　４　ですね♪
　＃普通はこの方法は面倒なので、やりませんけれど。

今度は倍数です。１倍、２倍、３倍・・・としていった数字ですね。
２４：２４　４８　７２　９６　１２０　１４４　１６８・・・・かな
２０：２０　４０　６０　８０　１００　１２０　１４０・・・・かな

これは結構たくさんでますから、一番小さいもの　最小の公倍数（公約数と同じ考え方でＯＫ）は
１２０ですね♪

　これもこうはやりませんね。大変ですのでね。

で、まぁ書かれている方法になるのですが、素因数分解をまずやりますね。
２４＝２×２×２×３　（＝２＾３　×　３　慣れるとこっちの方が早いです）
２０＝２×２×５　　　（＝２＾２　×　５　）

最大公約数はと見ると、お互いに２が二回かかっていますね。
後は、２×２×２＝８　も片方しかないし、２×３＝６もおなじく、２×５＝１０もありません。

両方あるのは　２×２しかありませんね。で最大公約数は４　となります。

今度は最小公倍数ですが、２×２は両方にありますね。これ以外のところで、
２４から　２×３＝６　が出ます。　２０から　５が出てきました。

重複しているところは一回しか掛ける必要はないんですよ。
で、
２×２×２×３×５＝１２０　ですね。

これはなぜか？　全部かけても公倍数です。　（これはだいじょうぶですか？）
　分からないときは言ってくださいね＾＾；　分かることが一番大事ですから。

全部かけます。　２４×２０＝２＾５　×３　×５　（２が５回掛け算です）

＝３２×３×５＝１６０×３＝４８０　暗算なので自信はないよ＾＾；

これが最小公倍数なのか（一番小さいか？）って言うのを調べてみると・・・。
その前に２４０でもよさそうだし、その半分（２で割ってます）１２０もある。
もうないかな？　どうやらなさそう。なので１２０としますよってことです。

ここでちょっと良く見てください。　４８０÷４＝１２０　なんですね＾＾；

２＾２　（＝２×２）が重複していますからね♪

長々書きましたけれど、意味はこういうことです。

分からないところは言ってください。手は貸しますから（減りませんから＾＾；）。
分かろうとしてある方には手をいくらでも貸しますよ＾＾；
　＃元非常勤の代数学講師でした。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

No.3 回答者： mizukiyuli 回答日時： 2012/12/05 16:52

随分昔のことなので間違っているかもしれませんが…。

この方法は素因数分解ですよね。
24…2*2*6
20…2*2*5

◆最大公約数
最大公約数は割れる数…つまり素数のうち共通していて最も大きな数となります。
24と20の素数のうち共通しているのは2と4（2*2)しかありません。
よって4となります。

◆最小公倍数
すみません、これはよくわからないのですが
計算式からすると
共通していない素数である6と5の最小公倍数を求め、そこに最大公約数である4（2*2)をかけるのだと思います。

たとえば10と15の最小公倍数ですが
10…2*5
15…3*5
最大公約数…5
2*3*5=30
10の倍数　10、20，30…
15の倍数　15、30…
30で合っています。

No.2 回答者： papapa0427 回答日時： 2012/12/05 16:48

＞例えば24と20という数字があって

＞この二つの共通の素因数2でわると
＞それぞれ12と10
＞さらに共通の素因数2でわると
＞それぞれ6と5
＞6と5は互いに素
つまり「４×６＝２４」、「４×５＝２０」ですよね。よって最大公約数が＝４となるわけですね。「２」つづ割っているのは最少の割り方だからでしょう。２つの数字にとって最少となりうる分母の数が最大公約数です。
で、両方の素の積と最大公約数をかけると最小公倍数になるということです。

No.1 回答者： noname#176157 回答日時： 2012/12/05 16:46

24=2x2x2x3

20=2x2x5
と、まず書いたほうが俺は解りやすい。