等差数列の和

１から180までの整数のうち、
初項が５、公差が4の等差数列に現れる数の集合をA,
初項が１、公差が６の等差数列に現れる数の集合をBとする。

（１）Aに属するすべての数の和を求めよ。

（２）共通部分A∩Bに属する要素の個数を求めよ。

（３）和集合A∪Bに属する全ての数の和を求めよ。

解ける方がいらっしゃいましたら、
解説お願いしますm(__)m

No.2 回答者： ereserve67 回答日時： 2012/12/16 21:58

Aの要素を昇順に並べたものをa_n(n=1,2,・・・)とすると

a_n=5+(n-1)4=4n+1

1≦a_n≦180であるから

1≦4n+1≦180,0≦n≦(180-1)/4=45-0.25
n=1,2,・・・,44

Bの要素を昇順に並べたものをb_m(m=1,2,・・・)とすると

b_m=1+(m-1)6=6m-5

1≦b_m≦180であるから

1≦6m-5≦180,1≦m≦(180+5)/6=30+5/6
m=1,2,・・・,30

（１）(44/2){2・5+(44-1)4}=22(10+172)=4004（答）

（２）a_n=b_mとすると

4n+1=6m-5,4n=6(m-1),2n=3(m-1)

2,3は互いに素だからm-1は偶数でm-1=2k(k=1,2,・・・)とおける．(2n=3(2k),n=3k)

a_{3k}=b_{2k+1}=12k+1

1≦12k+1≦180より0≦k≦(180-1)/12=15-1/12,1≦k≦14であるから，14個（答）

（３）集合Xの要素の和をS(X)とかく．（１）よりS(A)=4004

S(A∪B)=S(A)+S(B)-S(A∩B)

S(B)=(30/2){2・1+(30-1)6}=30(1+29・3)=2640

S(A∩B)=Σ_{k=1}^14(12k+1)=12・14・15/2+14=1274

∴S(A∪B)=4004+2640-1274=5370（答）

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2012/12/16 21:57

初項が５、公差が4の等差数列　：項数は約36個

初項が１、公差が６の等差数列　：項数は約30個

具体的に書き出してじっくり眺めてみれば（1）（2）（3）はわかります。