A 回答 (3件)
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No.3
- 回答日時:
∫[0,(n+1/2)π]t|cos(t)|dt
=∫[0,1/2π]t|cos(t)|dt+Σ[k=1,n]∫[(k-1/2)π,(k+1/2)π]t|cos(t)|dt
ここまでの式変換は、積分範囲0~(n+1/2)πを
[0.1/2π]
+[(1-1/2)π,(1+1/2)π]=[1/2π.3/2π]
+[(2-1/2)π,(2+1/2)π]=[3/2π,5/2π]
+[(3-1/2)π,(3+1/2)π]=[5/2π,7/2π]
+[(4-1/2)π,(4+1/2)π]=[7/2π,9/2π]
・・・・・・・・・・・・・・・・・・
+[(n-1/2)π,(n+1/2)π]
に区切っただけですね。
No.2
- 回答日時:
|cos(t)|(0≦t≦nπ+π/2)のグラフを考えれば分かります.(図はn=5のとき)
(1)0≦t≦π/2のグラフ:山の右半分
(2)π/2≦t≦nπ+π/2のグラフ:n個の山
(1)に対応する積分が
∫[0,π/2]t|cos(t)|dt=∫[0,π/2]tcos(t)dt=(π-2)/2
で,(2)については,k=1,2,・・・,nとしてk番目の山に対応する積分が
∫[(k-1/2)π、(k+1/2)π]t|cos(t)|dt
このままでは絶対値は外れませんが,変数変換
t=s+kπ(-π/2≦s≦π/2)
を行うと
cos(t)=cos(s+kπ)=cos(s)cos(kπ)-sin(s)sin(kπ)=(-1)^kcos(s)
|cos(t)|=cos(s)(∵-π/2≦s≦π/2)
となって絶対値が外れ,
∫[(k-1/2)π、(k+1/2)π]t|cos(t)|dt=∫[-π/2,π/2](s+kπ)cos(s)ds
=∫[-π/2,π/2]scos(s)ds+∫[-π/2,π/2]kπcos(s)ds
=2kπ∫[0,π/2]cos(s)ds=kπ(π-2)
と簡単に計算できます.結局(2)に対応する積分は
Σ[k=1,n]∫[(k-1/2)π、(k+1/2)π]t|cos(t)|dt=π(π-2)Σ[k=1,n]k
となります.
後は(1),(2)を統合すれば計算完了です.
No.1
- 回答日時:
0から(n+1/2)π
を
0から(1/2)π
(1/2)πから(3/2)π
(3/2)πから(5/2)π
...
(n-1/2)πから(n+1/2)π
に分けた。
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