３の乗法における逆元

３の乗法における逆元にお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： misumiss 回答日時： 2013/01/08 17:01

こういう質問の場合, どういう代数系で考えているかを明示しないと, 例を挙げることしかできません.

以下, Z を有理整数環, R を実数体, とします.

1. R 上の乗法 * を, 以下のように定義します.
x * y = (-1/36)(x^2)(y^2) + x + y
この場合, (R, *) は, 単位元 0 をもつマグマで, 3 の逆元は -2 と 6, つまり2つ存在します.
代数系において, ある元の逆元が存在する場合, 一意に定まるとは限りません.

2. R 上の乗法 * を, 以下のように定義します.
x * y = xy + x + y
この場合, (R, *) は, 単位元 0 をもつモノイドで, 3 の逆元は -3/4 です.
モノイドは, 単位元をもつ半群のことで, 結合法則が成り立ちます.
よって, 逆元が存在するなら, 一意に定まります.

3. 環 Z/4Z においては, 3 の逆元は 3 です.

4. 体 Z/3Z では, 3 は零元であり, 逆元をもちません.

No.1 回答者： hashioogi 回答日時： 2013/01/07 18:29

整数環と考えると逆元は無し

有理数体と考えると逆元は1/3
実数体と考えると逆元は0.3333333…
でしょうか。