sinxの無限積展開

sinπx=πxΠ(1-x^2/m^2) の公式がどのようにして導出されるのか、疑問をもっています。

手元に解析概論(高木著)などがあり、Γ関数やWeiestrassの定理と関連があることぐらいはわかりましたが、具体的にどようにして導かれるのかがよくわかりません。

この公式の導出の仕方か、または、これらのことが詳しく書かれた専門書やページ数などがわかればお教え頂けないでしょうか？

※Πはm=1,...,∞の積を表すものとする。

No.3 回答者： hugen 回答日時： 2013/01/09 12:11

sinx=x-1/3!*x^3+・・・=x(1-1/3!*x^2+・・・)

また、
sinx=0　　を　解くと、　x=0,±π,±2π,・・・
そこで、
sinx=C x(x±π)(x±2π)=x{C(±π)(±2π)+・・・}　　　と　近似すると
C(±π)(±2π)=1　
C=1/(±π)(±2π)、よって
sinx=1/(±π)(±2π)* x(x±π)(x±2π)=x(1+x/π)((1-x/π)(1+x/2π)(1-x/2π)

この回答へのお礼

概略がなんとなくわかりました。
ありがとうございます。

お礼日時：2013/01/13 12:17

No.2 回答者： hugen 回答日時： 2013/01/09 11:28

http://ja.wikisource.org/wiki/%E8%A7%A3%E6%9E%90 …

解析概論/第5章/指数函数 三角函数
(3°) cotz を　部分分数に分割すること

この回答へのお礼

大変参考になりました。
また、いろいろと思考していたため、返事が遅くなり失礼いたしました。
有り難うございました。

お礼日時：2013/01/13 12:18

No.1 ベストアンサー 回答者： berokanda 回答日時： 2013/01/09 10:54

Wikipediaに略証があります。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92% …

関数論の本には大抵載っています。

この回答へのお礼

関数論の本に載っているとは、、、
盲点でした。
有り難うございました！！

お礼日時：2013/01/13 12:17