微積分の級数の証明問題がわからなくて困っています

微積分の級数の問題で、
Σ(n=1~∞)1/(n+1)log(n+1)=∞
Σ(n=1~∞)1/(n+1)(log(n+1))^2<∞
これら二つを積分を使って証明せよという問題なのですが、わからなくて困っています。

(n+1)をxなどとおいて計算していくらしいのですが、どなたかご教授お願いいたします。

No.1 回答者： misumiss 回答日時： 2013/01/13 23:13

f(x) = 1/((x + 1)・log(x + 1)), g(x) = 1/((x + 1)・(log(x + 1))^2) は,

どちらも, [1, ∞) で単調減少, かつ, f(x) ＞ 0, g(x) ＞ 0, を満たします.
よって, オイラー・マクローリンの判定法を用いて,
∫_[1 → ∞] f(x) dx = ∞ なので,
Σ_[n = 1 → ∞] 1/((n + 1)・log(n + 1)) は, 発散（当然, 正の無限大に発散）して,
∫_[1 → ∞] g(x) dx は, （1/log2 に）収束するので,
Σ_[n = 1 → ∞] 1/((n + 1)・(log(n + 1))^2) は, 収束する,
ことがわかります.