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高校数学の範囲でお願いします。

方程式1/x^n-logx-1/e=0・・・(1)(nは自然数)がx>=1の範囲にただひとつの実数解xn(←nは右下に小さく出ています以下、snと表記します)を持つことを示し、n→∞のとき、limxsn を求めよ。

以上のような問題がありました。問題は完全に以上です。
微分して、0より小を確認しました。
f’(x)=-nx^(-n-1)-(1/x) < 0

で、単調減少なので、f(1)で0より大を確認しました。
その後、f(e^(1/n))の0より小を確認しているのですが、なんでいきなりe^(1/n)が出てきたのか意味がわかりません。

まさか、「使い勝手が良さそうだったから」っていう理由ではないですよね?
問題文は本当にそれしか書いていませんので、全くわかりません。
途方に暮れています

A 回答 (3件)

2007年東北大(理系)の問題です。



x≧1に着目すると、x>1 では -log(x)<0 です。従って、x>1 ならば
 f(x)=x^(-n)-logx-(1/e)<x^(-n)-(1/e)
が成り立ちます。今、f(x)<0 となるような x を知りたいので、上の右辺を=0 として
  x^(-n)-(1/e)=0 ∴x= e^(1/n)
となって、いきなり出現したかに見えた e^(1/n) が導かれます。

一応注意しておきますが、「f(x)=0がx≧1の範囲でただ1つの実数解 x_n を持つ」だけを言いたいのならば、上のようなまどろっこしい解答をしなくても、f(x)が単調減少であることから、十分大きな x で f(x)<0 を示してやればよいです。原題(2)の
 「lim[n→∞] x_n=1 を示せ」
につなげるためにわざわざx= e^(1/n)という点を求めています。

参考:
http://www.densu.jp/tohoku/07tohokusprob.pdf
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

>2007年東北大(理系)の問題です
問題見ただけでわかるとは・・・只者ではないですな。
おっしゃる通り、東北大と書いてました。

解説も非常に丁寧で、e^(1/n)の意味がよくわかりました。

お礼日時:2013/01/23 23:59

それではなぜf(1)を考えたと思うんだ?


1/(x^n)-logx-1/eでlx=1ならばogx=0になって使い勝手が良さそうだったからじゃないのか?
x=e^(1/n)も1/(x^n)-1/e=0になって使い勝手が良さそうだろう。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
まさかの使い勝手・・・。

お礼日時:2013/01/23 23:56

いや, それくらいでしょう.



単調減少であることさえわかれば (それなりに大きな値であれば) なんでもよくって, 例えば x = e でもいいんだけど.
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
ええー!!マジデスカ・・・?

驚きのあまり何も言えねえ・・・。

お礼日時:2013/01/23 23:54

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