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No.1
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問題のような掛け算をしてゼロの数が増えるのは、
(1)10の倍数を掛けたとき
(2)一の位が5である数を掛け、さらに一の位が2,4,6,8のいずれかである数を掛けたとき
です。(1)の、10の倍数も5の倍数ですから、結局5の倍数がいくつあるか考えればいいことになります。
但し、25とか75のような25の倍数は5*5とか5*5*3のように5が二回出てくるので、これは5の倍数二つ分と考えます。
同様に125とか250のような125の倍数は5*5*5とか5*5*5*2のように5が3回出てくるので、これは5の倍数三つ分と考えます。
1から100までの間に5の倍数は20個あり、25、50、75、100は二つ分と考えるので、1から100まで掛けるとゼロの数は24個です。
101から200までの間に5の倍数はやはり20個あり、125は三つ分、150、175、200は二つ分と考えるので、101から200まで掛けるとゼロの数は25個です。
上記より、1から200までを掛けるとゼロの数は49個となり、あと一つゼロが増えるには202と205を掛ければいいことになります。しかし210を掛けてしまうとゼロが51個になってしまうので、求める整数は209となります。
実は上記の(2)で、一の位が2,4,6,8のいずれかである数が一の位が5である数よりも多数ある(最悪同数)ことを確認しないといけません。そうでないと一の位が5である数があってもゼロが一つ増えないことになりますから。これについては、一の位が5である数の隣は1の位が4あるいは6であり、3を足したり引いたりすれば一の位は2または8になるので、後者の方が多数あることが判ります。
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