フーリエ正弦変換、余弦変換

この問題の解き方、考え方を教えて下さい。
f(x)={sin x (|x|≦π)　、0 (|x|>π)
答え・・・2 sin πu /(1-u^2)
f(x) は奇関数
f(x)のフーリエ変換は 正弦変換を用い、
-2i∫(0→π)　(sin x)(sin ux) dx
↓加法定理を用いて変形。
= -2i∫(0→π)(-1/2)(cos(1+u)x - cos(1-u)x) dx
となりますが、このままやるとsin πuではなくsin(1+u)πという形になってしまいます。

No.1 ベストアンサー 回答者： ereserve67 回答日時： 2013/02/15 18:58

>-2i∫(0→π)　(sin x)(sin ux) dx

ここまま計算するとiが残るので答えのようにはなりません．フーリエ正弦/余弦変換は本によって定義がまちまちです．しかし，質問者様の疑問は三角関数計算にあるようなので係数の部分はさておき

∫(0→π)　(sin x)(sin ux) dx

の部分だけ計算しましょう．

∫(0→π)(-1/2)(cos(1+u)x-cos(1-u)x)dx

=(-1/2)∫(0→π){cos{(1+u)x}-cos{(1-u)x}}dx

=(-1/2)[sin{(1+u)x}/(1+u)-sin{(1-u)x}/(1-u)](0→π)

=(-1/2){sin{(1+u)π}/(1+u)-sin{(1-u)π}/(1-u)}

ここで公式sin(θ+π)=-sinθ，sin(π-θ)=-sinθより

sin{(1+u)π}=sin(π+πu)=-sin(πu)
sin{(1-u)π}=sin(π-πu)=sin(πu)

ですから

(-1/2){-sin(πu)/(1+u)+sin(πu)/(1-u)}

=(1/2)sin(πu){1/(1+u)+1/(1-u)}

=sin(πu)/(1-u^2)（☆）

ついでに普通のフーリエ変換がどうなるかやっておきましょう．sin(x)=(e^{ix}-e^{-ix})/(2i)ですから

∫(-π→π)e^{-iux}sin(x)dx

=(-i/2)∫(-π→π){e^{i(1-u)x}-e^{-i(1+u)x}}dx

=(-i/2)[e^{i(1-u)x}/{i(1-u)}-e^{-i(1+u)x}/{-i(1+u)}](-π→π)

=(-1/2)[{e^{i(1-u)π}-e^{-i(1-u)π}}/(1-u)+{e^{-i(1+u)π}-e^{i(1+u)π}}/(1+u)]

=(-1/2)[{-e^{-iuπ}+e^{iuπ}}/(1-u)+{-e^{-iuπ}+e^{iuπ}}/(1+u)]←e^{±iπ}=-1

=(-1/2)[2isin(πu)/(1-u)+2isin(πu)/(1+u)]=-2isin(πu)/(1-u^2)

この結果は☆の-2i倍です．つまりこれが質問者様の計算を進めていくと得られる結果です．ということは答えには-iがぬけているのではないでしょうか．

※数学的厳密性にうるさい人は上の計算はu≠±1とする必要があると仰ると思います．しかし，結果をu=±1でべき級数展開すればわかるようにこれはいわゆる「除きうる特異点」です．結果のu=±1での値はu→±1の極限と解釈すればよいでしょう．

この回答へのお礼

ありがとうございます！
sin(1+u)π→sin(πu+π)を見落としていました。

お礼日時：2013/02/17 09:18

No.2 回答者： alice_44 回答日時： 2013/02/15 19:09

そのままやれば ok.

計算して出てくる sin(πu+π) と sin(πu-π) は、
sin の基本公式を使って sin(πu) で表してやればいい。

= (-2i) ∫[0→π] (-1/2){ cos((u+1)x) - cos((u-1)x) } dx
= i ∫[0→π] { cos((u+1)x) - cos((u-1)x) } dx
= i [ (1/(u+1))sin((u+1)x) - (1/(u-1))sin((u-1)x) ]_(x=0→π)
= i { (1/(u+1))sin((u+1)π) - (1/(u-1))sin((u-1)π) }
= i { (1/(u+1))(-sin(πu)) - (1/(u-1))(-sin(πu)) }
= i sin(πu) { -1/(u+1) + 1/(u-1) }
= i sin(πu) 2/(u^2-1)

「フーリエ正弦変換」というのが、単に奇関数のフーリエ変換を指すのか、
その虚部だけを指すのかによって、係数 i が掛かるかどうかは違ってくると思うが、
その辺の用語は、文脈により揺らぎがあるから、教科書または講義に準ずる他ない。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
教科書だと-iを除いたものを「フーリエ正弦変換」というと
書かれていますが、教科書の問題では-2iを掛けて計算しているので
フーリエ変換せよと言われたら(正弦変換を用いる場合は)-2iを掛けて計算するようにしています。

お礼日時：2013/02/17 09:22