
No.3
- 回答日時:
2x^3-3x^2-x+1 が x-(1/2) で割りきれること
を見つけるにはどうするか?という話ですよね。
x-(1/2) で割りきれることと、x=1/2 を代入したら
2x^3-3x^2-x+1=0 になることは、同値です。
(因数定理)
整数係数多項式の根が有理数になる場合、その根は、
多項式の定数項の約数を分子に持ち、
最高次の係数の約数を分母に持つものに限られます。[*]
質問の多項式の場合、そのような分数は ±1/1, ±1/2
に限られますから、x-1, x+1, x-(1/2), x+(1/2)
について、割りきれるかどうか試してみればいいです。
[*] の理由は、根が x=p/q と既約分数(それ以上
約分できない分数)で表されたときに、
それを 2x^3-3x^2-x+1=0 へ代入すると
2p^3=q(3p^2+pq-q^2) と変形できる
ことで説明できます。
q は 2p^3 の約数ですが、p と q は互いに素ですから、
q は 2 の約数でなくてはなりません。
分子についても、
q^3=p(-2p^2+3pq+q^2) から同様に説明できます。
証明はともかく、[*] の事実は知っておくと役に立ちます。
No.2
- 回答日時:
最高次の係数aと定数bを見て±(bの約数)/(aの約数)が候補となる。
2x^3-3X^2-x+1
の場合はa=2でb=1だから±1/2だけですね。
それ以外は難しいから試験問題には出ない。
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