組立除法をする時の因数の見つけ方

数学が苦手な者です。
野暮な質問かもしれまんが、ご容赦ください。


高次方程式を因数分解する時に組立除法する時、
xに代入して、式の値が‘0’になる値はどうやって見つけるのでしょうか。
いわゆる組立除法において、‘１」’のように書く部分の数値です。
　

私はいつも適当に１を入れたり、－１を入れてその都度代入して確かめていました。

しかし問題集において、
2x^3-3X^2\x＋１
の場合は1/2が因数だそうなので、
もっと効率よく解ける方法が知りたくなり質問致しました。

お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： glutamine 回答日時： 2013/02/18 17:47

組立除法は定数項の約数的なものの±を入れれば大抵うまくいきます。

(私の場合、うまくいかなかったことはありません)

2x^3-3X^2\x+1の \xとは何ですか??

この回答へのお礼

ご解答をありがとうございます。
すみません、タイプミスをしてましたね。
正しくは→2x^3-3X^2-x+1

お礼日時：2013/02/18 18:15

No.2 回答者： f272 回答日時： 2013/02/18 18:54

最高次の係数aと定数bを見て±(bの約数)/(aの約数)が候補となる。

2x^3-3X^2-x+1
の場合はa=2でb=1だから±1/2だけですね。
それ以外は難しいから試験問題には出ない。

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2013/02/18 19:16

2x^3-3x^2-x+1 が x-(1/2) で割りきれること

を見つけるにはどうするか？という話ですよね。

x-(1/2) で割りきれることと、x=1/2 を代入したら
2x^3-3x^2-x+1=0 になることは、同値です。
(因数定理)

整数係数多項式の根が有理数になる場合、その根は、
多項式の定数項の約数を分子に持ち、
最高次の係数の約数を分母に持つものに限られます。[*]

質問の多項式の場合、そのような分数は ±1/1, ±1/2
に限られますから、x-1, x+1, x-(1/2), x+(1/2)
について、割りきれるかどうか試してみればいいです。

[*] の理由は、根が x=p/q と既約分数(それ以上
約分できない分数)で表されたときに、
それを 2x^3-3x^2-x+1=0 へ代入すると
2p^3=q(3p^2+pq-q^2) と変形できる
ことで説明できます。
q は 2p^3 の約数ですが、p と q は互いに素ですから、
q は 2 の約数でなくてはなりません。

分子についても、
q^3=p(-2p^2+3pq+q^2) から同様に説明できます。

証明はともかく、[*] の事実は知っておくと役に立ちます。