論理に於る＝と⇔の違い

大学入試センター試験問題で＝と⇔の混同があります。

例　　（P⇒Qの対偶）⇔（P⇒Q）であるが、（P⇒Qの対偶）＝（（Qでない）⇒（Pでない））であって
　　　　（P⇒Qの対偶）＝（P⇒Q）ではない。
　　　　どこかまちがっていますか？

q ; |a+b|<1 または |a-2b|<2　とは　q ＝ |a+b|<1 または |a-2b|<2　のこと論理記号に ; はない

(2011年数学I・数学A[2]の(2)より）　
ここに於ける　ツ　は　（ |a+b|<1 または |a-2b|<2）でない　であるべきであって、それに当てはまるものは無い。　4の（ |a+b|≧1 かつ |a-2b|≧2）を正解としているが
（ |a+b|<1 または |a-2b|<2）でない）⇔（ |a+b|≧1 かつ |a-2b|≧2）ではあるが　⇔を＝に置き換えることができない。もし置き換えができるというのなら例に示した様に（P⇒Qの対偶）⇔（P⇒Q）であるから
ツを　1　の　p　そのもの、テを　2　の q そのものとしたものも正解すべきである。
反論を待つ

No.13 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2013/04/14 01:38

　#10です。

　この板での自分の発言部分については、もともと自分の誤解からの書き込みだったので、今回あたりが引き際かなと思っています(^^；)。


＞ここでは⇔と＝が違う事を述べて居ます。形式的に完全なシステムを述べているのではありません。＝の基本はsubstitutable
＞迷いましたが、、このブログでは「いい加減」が良い加減とおもうので。

　そう思ってます、そう思ってます（substitutable）。そうでなけりゃ、数学は窮屈でやってられません。

＞これが正確でなく一意性を欠いている。と言うのが主題なのです。
＞a⇔￢q,b⇔￢pではなくa＝￢q,b＝￢pで無ければいけないと言っているのです。

　だから仰る事はわかります。ただ自分なら、「記号列として」　a＝￢q,b＝￢p、とは言いたくなりますが、高校生にその区別を要求するのは厳しい気がします。なので高校ではそう教えられてないでしょうし、センター試験の記述もあんな具合ですが、仕方ないように思えます。


＞AABnon ouτCも関係式なのですか。　ouABCDnon は対象式ですか
＞少し余談　この理論は何のために、いつごろ作られたのですか（プログラム言語？ドイツ嫌い）

　古いので余り名前を出したくなかったのですが(^^；)、「ブルバキ数学原論　集合論　第一章　形式的な数学の記述」です。という訳で、ドイツ人の大嫌いなフランスでした(^^；)。

　余談ですが、現在はプログラマーをやってますが、形式論理とプログラム言語は瓜二つだなと実感します（系譜を考えれば当然ですが）。ところで関係式，対象式の定義ですが、そこでは帰納的定義になってまして（今回は少し正確に）、

　　a)　記号列Ａ，Ｂを関係式とした時、記号列　ＡouＢ　と　nonＡ　は関係式．
　　b)　記号列Ａを関係式とした時の記号列　τＡ、または　一つの文字　は対象式．

となってます。Ａが記号一個の記号列だったら対象式だから、Ａが関係式は矛盾だと突っ込まれそうですが、そこは文脈でわかれとなってます（非常に注意深い述べ方で）。とはいえa)，b)だけでは、初期値を与えない漸化式のようなものです。それでこの後に初期値として、命題理論の通常の4つのシェマが出てきます。この初期値により、AABnon ouτC　や　ouABCDnon　は考えなくても良い事になります。


＞well-defied
＞結局公理系の同値性が示せる。

　そういう事にもなりますが、でもこれは大きすぎて、ふつうwell-defiedとは言いませんよね？(^^)。well-defiedはもっと身近で良くあるのが、線形空間の部分空間の定義条件で、部分空間がベクトル空間になる事を示す証明なんかです。わかってる人にとってはルーティンワークですが、初学者は大概これで悩みます（もしくは、何のためにやるの？と）。


＞あなたの仰る、合同、相似が分かりません。

　全くの初等幾何の範囲で、重ねて一致するのが合同な三角形，角度の全て等しいのが相似な三角形、・・・程度の事しか知りません(^^；)。


＞簡単なExampleを下さい。

　長くなるので、次にとどめます。（論点は大分ずれますけど）同値な論理式の置き替えに関する置換法則（代入法則）はもちろんご存知と思いますが、当然＝のイメージで処理します。だけどそこでも、＝は出てこなかったよなぁ～（本当は＝で代入したいんだが、まだ定義してないから）、だから置換法則なんていう厳めしい名前を持ちだしたんじゃないの？、などと邪推しております。これもあって、(Ｐ　⇒　Ｑ)＝(￢Ｑ　⇒　￢Ｐ)　は公式文書では不味いだろうと思いましたが、誤解でした。


＞(Ｔ＝Ｕ)⇒(Ｒ(Ｔ)⇔Ｒ(Ｕ))　のR(x)の中にTやUは現れないのですか？

　そのような但し書きが、事の最初から厳密には付いてまわっております。例えば、R(x，R)の2つのＲは記号列として明らかに違うのだから、こんな記号列はあり得ないよという類の但し書きです。


＞束縛記号としてはどうなのですか　((∀x)(Ｒ⇔Ｓ))⇒(τ(x，Ｒ)＝τ(x，Ｓ))
＞ τ(x，Ｒ)は何ですか

　正確にはτx(Ｒ(x))で、xに関してＲ(x)を満たす対象（1個とは限らない）を表します。対象が空というケースもあります。(∃x)Ｒ(x)は、記号列　Ｒ(τx(Ｒ(x)))　の事だと定義されます（これは具体的な記号並びそのものでは、ありません）。

　　c)　まず、τx(Ｒ(x))の中に文字xがあっては困るので、xを含まないで済ますτ記号の非常に技巧的な定義があります．
　　d)　次にc)の定義によって、Ｒ(τx(Ｒ(x)))の具体的な記号並びを想像させ、
　　　　それを「Ｒ(τx(Ｒ(x)))と略記するよ」という定義で、R(x，R)状態を回避します．
　　e)　最後に、Ｒ(τx(Ｒ(x))を(∃x)Ｒと略記するとなり、(∃x)Ｒには文字xは含まれないという注意書きも付きます．

　どうやらτ記号があると、選択公理を明記する必要がなくなるらしいのですが（τxＲとは、常に書けますからね(^^)）、逆に言うと、その程度の効用らしいです(^^；)。(∀x)Ｒはもちろん、non(∃x)(nonＲ)の事です。


＞ここでは⇔と＝が違う事を述べて居ます。

　それはわかっています(^^)。

この回答への補足

お付き合いくださり有難う存じます。

論理について
普通のドイツ発の記号論理にと殆ど同じと感じます。
代数幾何の者達がブルバキをよく読んでいた記憶はあります
＞そうでなけりゃ、数学は窮屈でやってられません。
決めるまでの数学は自由ですが、一旦決めたらそこからは窮屈でなければなりません。

殆どヒルベルト発の記号論理と同じと感じます・

＞well-defied
　より大きなシステムを模型とし、そのシステムの無矛盾性を大きなシステムにあずけたと言うことですね。

＞重ねて一致するのが合同な三角形
　裏返さないと一致できないものも普通合同ですね

＞物として（三角定規）として、いつも合同ですか？という意味です。
平面幾何として考えるか、3次元4次元の幾何として考えるか、
またどんな論理を採用するかによっても違うと思います。
例えばtenseLogic(時間を考えた論理)では時間が異なれば違うと考えられるのでは。

>τx(Ｒ(x))　
ドイツ式でεx(R(x))書くものですね、使用には、直観的には選択公理が必要と感じますがその必要はない事が示された（日本人）と記憶しております。
因にιx(R(x))は　R(x)を満たす xがただ1つある時、そのxを表す記号です。


駄弁
私共は中学に入ってユークリッドの公理から幾何を学び、（小学校から知っているのに）、何とまあ間怠っこしい、と思いましたが、合同（≡）を学ぶにあたって時間を掛けて＝と≡の違いを学びました。尤もこんなことが出来たのは6年間通して（国英数は）同じ先生から学ぶから出来たからかも分かりません。余程のことが無ければ定理は使わない様にとも学びました。何処の学校だってそうだと思っていました。
＝は小学校の低学年から最も使い慣れた記号であるに関わらず知らないことが多く難しいのかなと感じています。
この私の質問について見てくださった方が180人ほど貴君など回答を書いて下さった方は15足らず、あとの方々は一応興味を示して見て下さったのですが、反論もなく賛成もなくどのようにお思いになったのでしょうか？私は大学入試センター試験の問題が間違っていると証明したつもりですが。
もう時効になっていますが、私の居た大学の入試問題（国語）に間違った問題が出題されました。私は後から知って出題グループに問いましたが（間違いであることは認めましたが）どこからも、そのことに関して質問、抗議はなかったとの事でした。そんなものでしょうかね？

補足日時：2013/04/24 14:21

No.12 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2013/04/06 23:46

なかなか話がかみあいませんねぇ。

私の趣旨は元々の問題に立ち返れば、対偶という言葉の定義です。

(1)論理記号　￢、∨、∧、⇒、⇔　等が定義済みとして（これらの定義中に対偶という言葉は出てきません）その上で
(2)p⇒qの対偶とは、a,bがa⇔￢q,b⇔￢pを満足するとき、a⇒bの事である。（もちろん一意ではありません）

集合の例
(1)集合Aと集合Bの関係　B⊂A が、∀ω∈Ω(ω∈B⇒ω∈A)で定義済みとして（この定義中に部分集合という言葉は出てきません）その上で
(2)集合Aの部分集合とは、B⊂Aを満足する集合Bの事である。（もちろん一意ではありません）

同じ構造をしているでしょう。ということなんですが。。。これ以上は説明しようがありません。

この回答への補足

＞p⇒qの対偶とは、a,bがa⇔￢q,b⇔￢pを満足するとき、a⇒bの事である。

これが正確でなく一意性を欠いている。と言うのが主題なのです。
a⇔￢q,b⇔￢pではなくa＝￢q,b＝￢pで無ければいけないと言っているのです。

注　＝は論理記号ではありません。
一意性が新しい矛盾や本来有ってはならない定理が出てこないことを保証します。（証明は、定義を使わない推論図に書き換え可能であることを示して行はれます。）
多分貴君の様にしても古典論理では具合の悪いことは起らないでしょうがその証明が必要です。

補足日時：2013/04/07 13:13

No.11 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2013/04/05 20:56

>AやBの定義でなくB⊂Aの定義です。

日本語をよく読むように。例に挙げたのは、B⊂Aの定義を言っているわけではなく、Aの部分集合という言葉の定義です。

この回答への補足

>Aの部分集合
貴君の言っているのは「はAの部分集合」で完結した文章ではありません。
2項論理記号⇒について「pが真の時p⇒は」と言っているようなものです。　

補足日時：2013/04/06 10:51

No.10 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2013/04/05 20:29

　#8です。

＞貴方は、（P⇒Qの対偶）は（（Qでない）⇒（Pでない））に於ける「は」とはどんな事を言っているとお思いですか？　私は＝と思います。貴方が違うように考えるなら、・・・

　いやいや、自分も（心の中では）＝と思いますよ(^^；)。ただ、いちおう今の標準は、等号関係付き一階述語理論なのだろうな、と思ってるだけです。でも一階述語理論も色々ありますから、たぶんこれだけでは駄目なんですよね。

　自分の知っている形式的な一階述語理論では、

　　1)論理記号τから始まらないで、論理記号ou（または）とnon（否定）を含む記号列（文字列）は、関係式である．
　　　（関係であって、物でない。また⇒，et（かつ），⇔は、ouとnonで定義する）．

　　2)論理記号τから始まる記号列と、1つの文字は対象式である．
　　　（物であって、関係でない）．

となってました、と限定しておきます。それで公式の文書としては、「（P⇒Qの対偶）＝（（Qでない）⇒（Pでない））」という具体的な記述がもしあれば、やはり不味いのではないか？と思った訳です。この立場では、

　　（P⇒Qの対偶）⇔（（Qでない）⇒（Pでない））

も不可です。可能なのは、

　［対偶の定義］
　　関係式（P⇒Q）⇔（（Qでない）⇒（Pでない））を満たす関係式　（Qでない）⇒（Pでない）を、今後　P⇒Qの対偶　と呼ぶ．

を設け、上記定義と供に定義記号：の運用も定めて、

　　（P⇒Qの対偶）：（（Qでない）⇒（Pでない））

と記述する事です。これが、高校の教科書では；や：は（暗黙の定義により）乱用されてるのでしょう、の意です。また以上の手続きを追加すれば、

　　（P⇒Qの対偶）⇔（（Qでない）⇒（Pでない））

は可能になります。


＞考え方は自由ですが一旦決めた約束は（定義や記号等）は厳密に（不自由？）に守らなければなりません。
＞ι symbol elimination theorem （イオタ記号・・・）のことでしょう。

　それはその通りだと思います。ι記号は知らないのですが、言いたかったのは次のような状況です。

　例えば一般位相論では、位相構造を開集合族で定義するのが普通だと思いますが、位相構造は近傍系によっても定義できます。大抵はどちらかを基本にするので、他方は基本にした方の派生物として最後まで取り扱われますが、教育的配慮としては、最初に位相構造を開集合族で定義しておいて、後で近傍系によって定義し直す、という立場はあり得ると思います。

　開集合族による定義は、位相空間全体の見渡しには適しているが若干具体性に乏しく、近傍系による定義はかなり具体性を持つが局所的定義なので、空間全体は見渡しにくいからです。

　定義し直しを行うケースでは、どっちも同じ位相構造を導くという、well-defied性の証明は是非必要です。もっと卑近な例では、実数値関数などに関数の和と定数倍を定義した後、それがベクトルである事の証明を大概行います。厳密にやれば、10数個のベクトル空間の公理を、関数の和と定数倍に関して確認する事になります。

　これなどは最初、同語反復じゃないの？と思えて、なかなか意味がわからなかったのですが、これがwell-defied性の証明なのだと気づくまでには、かなりかかりました。このような処方箋に従う限り、定義は自由なはずです。


＞意味不明（相似∽とは？）

　言いなおします。相似記号∽で結ばれる、相似な関係にある三角形を表す対象式ＡとＢ（Ａ∽Ｂ）において、対象式ＡとＢが指示する2つの三角形は、物として（三角定規）として、いつも合同ですか？という意味です。

　関連して、これでしょうか？。

＞大雑把に言うと、A=Bのとき数学的対象Γが束縛変数としてBを持たない時にはΓの中のAをBに置き換えてもΓと＝になります。

　上記は、等号関係Ａ＝Ｂでなくても、成り立つ話だと思えます。従って、等号関係Ａ＝Ｂが同値律を満たし、上記を満たしたとしても（満たしますが）、それだけでは等号関係の特徴付けにはなっていない、が自分の意見です。


　とは言え、自分の知っている形式論理はあなたのより狭いかも知れない。なので自分の知っている形式論理における等号関係のシェマを、最後に揚げておきます。

　第一階述語論理と、冒頭の1)，2)を前提として、

　　(SE1)　xを文字，ＴとＵを対象式，Ｒ(x)を関係式とする．
　　　　関係式　(Ｔ＝Ｕ)⇒(Ｒ(Ｔ)⇔Ｒ(Ｕ))　は公理．

　　(SE2)　ＲとＳを関係式，xを文字とする．
　　　　関係式　((∀x)(Ｒ⇔Ｓ))⇒(τ(x，Ｒ)＝τ(x，Ｓ))　は公理．

この回答への補足

＞自分の知っている形式的な一階述語理論では、
　　1)論理記号τから始まらないで、論理記号ou（または）とnon（否定）を含む記号列（文字列）は、関係式である．
　　　（関係であって、物でない。また⇒，et（かつ），⇔は、ouとnonで定義する）．
　　2)論理記号τから始まる記号列と、1つの文字は対象式である．　　　（物であって、関係でない）．・・・・・・・・

申し訳ありませんが私はこの理論を知りません。ので以下分かりません。数学屋には記号ぐらから始まらないと分からない（分かってはいけない）のです。
そんな事ここではとても無理ですよね
AABnon ouτCも関係式なのですか。　ouABCDnon は対象式ですか
少し余談
この理論は何のために、いつごろ作られたのですか（プログラム言語？ドイツ嫌い）

ι symbol elimination theoremとは乱暴に言えば　・・・・を満たすものが（定義のように）ただ一意のとき、公理からその定義を使って証明できたもの（定理と云う）の中にその定義が現れていなければ　定義を使用せずとも証明される。というものです。
＞well-defied
貴方のwell-defiedとは例えば実数を「切断」で定義しても、「区間縮小法」で定義しても、「上に有界である集合は上限をもつ」で定義しても結局同じという事なのですね。
自然数（通常0を含む）の公理はPianoを始め何種かありますが、これらが同じかどうかが問題になっているそうですが、その様なものはwell-defiedかどうかが分かっていないということですか　「どっちだって同じやん」みたいなものですか？
結局公理系の同値性が示せる。ことですか

＞相似記号∽で結ばれる、相似な関係にある三角形を表す対象式ＡとＢ（Ａ∽Ｂ）において、対象式ＡとＢが指示する2つの三角形は、物として（三角定規）として、いつも合同ですか？という意味です。

あなたの仰る、合同、相似が分かりません。初等幾何に於ける合同が相似で、合同とは同一の意味なのですか。　多くは存じませんが幾何にも色々ありますが

＞等号関係Ａ＝Ｂでなくても、成り立つ話だと思えます。
簡単なExampleを下さい。
＞従って、等号関係Ａ＝Ｂが同値律を満たし、上記を満たしたとしても（満たしますが）、それだけでは等号関係の特徴付けにはなっていない。
　(Ｔ＝Ｕ)⇒(Ｒ(Ｔ)⇔Ｒ(Ｕ))　のR(x)の中にTやUは現れないのですか？
束縛記号としてはどうなのですか
　((∀x)(Ｒ⇔Ｓ))⇒(τ(x，Ｒ)＝τ(x，Ｓ))
　 τ(x，Ｒ)は何ですか等正確に書く事は至難の技です。（スペースの関係もありますからね）

ここでは⇔と＝が違う事を述べて居ます。形式的に完全なシステムを述べているのではありません。＝の基本はsubstitutable
迷いましたが、、このブログでは「いい加減」が良い加減とおもうので。

補足日時：2013/04/10 17:57

No.9 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2013/04/05 15:48

＞定義を勝手に変えてはなりません。

厳密な定義の出典があれば教えて。数学事典（岩波第4版）では索引に対偶がなかったので、見つけられませんでした。（パラパラっと見ただけなので）
数学小辞典（共立第2版）では対偶は「条件文p→ｑについて、￢q→￢pをその対偶という」とあるのですが、その次の項目の対偶法の説明のなかに、
・・・「a+b>4ならばa>2またはb>2」を証明するときに対偶命題「a≦2かつb≦2ならばa+b≦4である」を証明する方法・・・とq'→p'を対偶命題とはっきりと書かれています。
編集が東京理科大学 数学教育研究所編集ですから、そちらに問い合わせてみては？

＞貴君の定義はこの一意性欠けています。
一意性とは「ある定義で定められたものがただ一つしかないこと。」となっており、定義の説明には、「数学上の意味を明確に規定する文章または式を定義という。」で定義に前者の一意性が必須ではないと思ってましたが、まちがいでしょうか？
別の例：普遍集合をΩとして、集合A,Bについて、∀ω∈Ω(ω∈B⇒ω∈A)を満たすときB⊂Aと表す。このとき集合Bを集合Aの部分集合という。立派な定義だと思いますが、Bは一意じゃないですよね。どうなの？

因みに、私は元物理屋で、趣味が数学、趣味と実益を兼ねて手品師をやっております。

この回答への補足

＞対偶は「条件文p→ｑについて、￢q→￢pをその対偶という」

でいいと思います。もし、違うものがあれば、試験問題として対偶という言葉を使うと即座に欠陥問題と成りますね。

対偶法というのは対偶とは違いその運用法の例で、例えば
2+3+4をいちいち2+3は5だから2+3+4は5+4になって9と書かない様に省略している部分があります。


＞定義の説明には、「数学上の意味を明確に規定する
　明確に規定するとは一意性の事を言っています。

＞このとき集合Bを集合Aの部分集合という。立派な定義だと思いますが、Bは一意じゃないですよね。どうなの？
　A、Bは自由変数と呼ばれるもので、∀ω∈Ω(ω∈B⇒ω∈A)にも現れています。AやBの定義でなくB⊂Aの定義です。AとBが決まっているとき、∀ω∈Ω(ω∈B⇒ω∈A）は一意です。

補足日時：2013/04/05 18:32

No.8 回答者： ddtddtddt 回答日時： 2013/04/04 20:11

　#1です。

皆さんのおかげで、趣旨はわかりました。


＞例にあるような問題が出たのですか？。

は、（P⇒Qの対偶）＝（（Qでない）⇒（Pでない））みたいな記述が、本当にセンター試験に出ちまったのか？と思っただけです。http://www.dnc.ac.jp/modules/center_exam/content …を見ると、そうではないようなので、安心しました。

＞貴殿のご意見では p⇒q の対偶を￢q⇒￢pと定義する　時記号を用いてはならない　p⇒q の対偶；￢q⇒￢p　とせよとのことですか？

　いやいや、そんな事は言っておりません(^^；)。

＞記号；はどこで許可されどの様な用い方が出来るのですか？＝については厳密にきせいされております。

　まぁ、高校数学の教科書では、「；」や「：」が乱用されてるでしょうね（自分も私的ノートなんかでは乱用しますし）。で、あなたの仰る「記号」とは、たぶん「論理記号」の事なんですよね、きっと。

　でも数学はそんなに不自由なものでもないはずです。記号；が厳密に規制されてないとすれば、；の運用を厳密に定義すれば良いだけの話です（高校を越えた時点での話ではありますが）。そういうのも定義の役割です。定義は本質的に省略記法という意味しか持たず、定義対象に（大抵はわかりやすい）名前を当てるだけなので、基本的にそれは自由です。定義の本質は「術語の定義」です。「～～と呼ぶ」「～～で表す」ですよ。

　もっとも余り不用意にやると、あなたの言うように一意性が失われたり矛盾が起きたりします。また一目でそういう事が見渡せない時もあります。そういうケースでは、well-defined性の証明（ちゃんと定義できる事の証明）をやる事になりますが、数学は定義に関して、一定の処方箋を持っています。

　対偶のケースでは一意性が失われたり矛盾が生じたりしない事が、最初からわかっているので乱用してるんだと思います。高校でも、そう教えてるでしょうし。


＞＝は数学のどのシステムでも用いられます。例えば　右辺の定義を左辺でするのによく用いられます。（例　3の次の自然数＝4）

　例は2重の意味に取れます。3の次の自然数[という対象式]と、4[という対象式]は、＝なる等号関係にある。もう一つは、3の次の自然数という[関係を満たす対象を]、4[と表す]。等号関係と定義の紛らわしさを防ぐために普通は、定義記号として≡を使うと思います。ところが幾何で≡は合同を表したりして、最初は悩みます(^^；)。それは文脈によって判断するしかありません。


＞・・・同値律は ⇔（私どもは≡を使うことが多い）や初等幾何の合同≡や相似∽等でも成り立ちます。すると＝と何処が異なるのか？

　自分は同値関係に関してmodを使いますが、同値律が成り立つからと言って、等号関係が成り立つとは限りません。じっさい相似∽で結ばれる2つの三角形は同じものですが？。合同条件が成り立ちますか？。物として（三角定規として）同じものですか？。

　同値関係と等号関係は違います。等号関係は同値律を満たす、一つの特殊な関係です。少なくとも今の数学は、そういう定式化をし、その方は自然だと思います。あなたの等号関係の定式は、甘いです。


　でも、趣旨はわかるんですよ。

＞もし置き換えができるというのなら例に示した様に（P⇒Qの対偶）⇔（P⇒Q）であるから、ツを　1　の　p　そのもの、テを　2　の q そのものとしたものも正解すべきである。

　こういう、ある意味本質を嗅ぎ取ってしまった（教師泣かせな）高校生は、防げない気がします。そして、そういう人達は「このひねくれ者！」と言われて、非常に傷つく気がします。対偶の定義が、現在あるような形だからしょうがない、としか自分には言えません。結局は定義の（言い方の）問題です。


　ちなみに自分は間違いなく工学系ですが、少なくとも#3さんは、現役の数学研究者の方だと、自分は思います。こういう場では、こういう情報も参考になると思うので、敢えて言いました。

この回答への補足

＞　（P⇒Qの対偶）＝（（Qでない）⇒（Pでない））みたいな記述が、
　　　貴方は、（P⇒Qの対偶）は（（Qでない）⇒（Pでない））に於ける「は」とはどんな事を言っているとお思いですか？　私は＝と思います。貴方が違うように考えるなら、（人によって異なるならば）問題文として欠陥品と断定していいでしょう。


＞等号関係と定義の紛らわしさを防ぐために普通は、定義記号として≡を使うと思います。
　私共は定義を＝の下の線―を←を少し変形したものに変えて使用しています。

＞数学はそんなに不自由なものでもないはずです。
考え方は自由ですが一旦決めた約束は（定義や記号等）は厳密に（不自由？）に守らなければなりません。
＞じっさい相似∽で結ばれる2つの三角形は同じものですが？。合同条件が成り立ちますか？。物として（三角定規として）同じものですか？。
　　意味不明（相似∽とは？）


＞well-defined性の証明（ちゃんと定義できる事の証明）をやる事になりますが、数学は定義に関して、一定の処方箋を持っています。
　ι symbol elimination theorem （イオタ記号・・・）のことでしょう。

＞　同値関係と等号関係は違います。等号関係は同値律を満たす、一つの特殊な関係です。少なくとも今の数学は、そういう定式化をし、その方は自然だと思います。あなたの等号関係の定式は、甘いです。
　#4さんの補足のところで等号関係は同値関係を満たすだけではダメで、同値や相似関係の違いを述べているでしょう（少し粗っぽくはありますが）
　＞#3さんは、現役の数学研究者の方だと、自分は思います。
　　私は文学関係の方と思います。（数学の私とは全く異なりますので）
　＞#3さんは、現役の数学研究者の方だと、自分は思います。
　　私は文学関係の方と思います。（数学の私とは全く異なりますので

すみません、私は昔数学基礎論を教えていて、定年になった後期高齢者です。
少し疲れました　今回はこれで

補足日時：2013/04/05 17:46

No.7 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2013/04/03 22:58

蛇足：

対偶という名称を誰が作ったかは知らないのだけれど。対という漢字が使われているところから推測すると、
p⇒qと￢q⇒￢pは互いに対偶の関係にあるという考えがあると思えて仕方ないのだけれど・・・
貴君の主張によれば、￢q⇒￢pの対偶は、￢￢p⇒￢￢qしか認めないと言うことだよね。直観主義の立場なのかしら？

この回答への補足

定義はどんな時に出来るか。
定義によって新しい矛盾が生じてはならないのは言うまでもありません。
それを保証するのは定義の単一性です。（単一性を保てば、新しい矛盾が生じないことは証明されています。）他にも在るかもわかりませんが
「p⇒qと￢q⇒￢pは互いに対偶」とすると、直観主義論理の立場では（矛盾は生じないが）直観主義では本来証明されないことが証明されてしまいます。
対偶の対は「つい」の意味ではなくcontraposition　の位置が「反対」の意味と思います。

補足日時：2013/04/04 09:44

No.6 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2013/04/03 22:46

あなたの論旨はp⇒qの対偶の定義が、￢q⇒￢pの形のみという前提の話です。

私の論旨は対偶の定義を以下のようにすればどう？という主張です。
p⇒qに対して、a⇒bをp⇒qの対偶と呼ぶ　ただしa∈{x|x⇔￢q},b∈{x|x⇔￢p)。と定義すれば。
定義に曖昧さはありませんし、あなたが危惧するような新しい矛盾はない。（あるなら例示して素直に認めるので）
あえて反論しただけで、私にとってはどっちでも良い。

＞記号化 これは万人に論理が受け入れられるためには必要欠くべからざるものなのです。式で書く事の必要性がお分りになりましたか。
分かりません。式で記述する利便性は分かるけど。上記、理由による（万人に・・・）必要性は間違っていますね。
その記号の意味は最初どうやって理解するの？やはり自然な言語でしょう？　数学だけでは無理なんでは？　論理学や哲学も必要では？
＝については数学的対象と言った瞬間、数学を超えると思えるのは私だけ？

この回答への補足

1.定義を勝手に変えてはなりません。
　定義としたいなら別の名前をつけるべきでしょう。
定義が「新しい矛盾を生じ無い」事や、「本来そのシステムで証明されるべきでない事が示される事がない」、を保証するものとして「定義の一意性」が既に証明されています。
貴君の定義はこの一意性欠けています。ので「新しい矛盾を生じ無い事や本来そのシステムで証明されるべきでない事が示される事がない」事を証明することが必要です。
実際、直観主義論理に於いては証明さるべきでない（中間論理の公理）が証明されてしまいます。
２.＞その記号の意味は最初どうやって理解するの？やはり自然な言語でしょう？
　本来記号には意味がありません。
例えば　p⇒q　は　pがFのときには　T、
　　PがTのときには、　qがTのときはT　qがFの時にはF
というT、Fの値をとるもの　（ここでTは真、Fが偽である必要はない）及び　⇒の使用法だけです。
これだけのものが成り立てば何でも構いません。
何もp,qは命題である必要はなく、数であってもよく
もし解釈が付けばTが正の数でない,Fが負の数あるでもよい
ただ記号の導入にあたっては自然言語の「なら」（本来はドイツ語、自然言語に「ならば」なんてないでしょう）を意識していますが
3.＞数学的対象と言った瞬間、数学を超えると思えるのは私だけ？
メタとフォーマルを混同してるのではありませんか？

補足日時：2013/04/04 11:43

No.5 回答者： itshowsun 回答日時： 2013/04/02 00:26

No.4 の回答者です。

回答した後、間違いに気付き、取り消したかったのですが、
その方法がわからず、ここで取り消します。
等号は形式言語ではないので、
二項関係を表わし、
その真偽は論理的に演繹されるのではなく、
モデルによって解釈されると言いたかっただけで、
後の説明は間違っています。

No.4 回答者： itshowsun 回答日時： 2013/04/01 21:18

センター試験については私にはわからないので、

例の「どこか間違ってますか」について私なりの考えを述べさせていただきます。
もしこれが論理学の範囲にあるとするならば、
⇒と⇔は形式言語で定義された論理接続詞と考えられます。
一方、等号=は形式言語では定義されていませんので、
普通は、モデルによって与えられる二項関係であると考えられます。
すなわち、
　　(*)　"a ＝ b" が真であるのは、a = b が真でありかつその時だけである
と暗黙に定義されていると考えられます。
しかし、形式言語では恒等記号≈を項 a、b に対して
　　(**)　"a ≈ b" が真であるのは、a が b に等しくかつその時だけである
が定義されます（記号が違う場合があるが、普通は等号＝を使わない）。
ということで、等号 = を上の(**)ように解釈できない。
そこで、解釈 (*) は、a と b がZ、Q, R (整数、有理数、無理数の集合)の元であるとき成立する順序関係(<, >, =, ・・・)の一つと解釈できる。普通はここまでのような気がする。
ただし、これ以上の解釈も非形式言語である等号 = に許される。
しかし、それは等号＝の誤用であると思う。
そのために多くの学生が苦しんでいる。
上の例では、
　　（P⇒Qの対偶）＝（（Qでない）⇒（Pでない））であって
　　　　（P⇒Qの対偶）＝（P⇒Q）ではない
の等号の解釈が難しい。間違っていない。
しかし、()のなかは論理学では真理値 (0 または 1)以外の値をとることが
できないと解釈するのが普通ではないか？
もし()を項を引用する名称であると解釈したいのであれば、
等号記号＝の代わりに恒等記号≈を使った方が意味がハッキリする。

この回答への補足

No.1～No.4の皆様は工学部の方達なのか、数学で最もファミリアな記号＝についてご存知無い様に感じますので＝の説明を少しさせていただきます。
AとBが同じ数学的対象を表すときA=Bと表す（数学辞典）。Aが命題であろうが、式であろうが、名前であろうが、図形であろうが，等々用います。例えば「2+3＝1+4」は2+3とか1+4とか名前が異なりますが同じ5（これを数詞と考えても数と考えても良い）のことを言っています。
＝は同値律 [ i.e. (1)反射律　A=A　（2）対象律　A=B　ならば　B=A　
（3）推移律　(A=BかつB=C) ならば A=C] をみたします。
しかし、この同値律は ⇔（私どもは≡を使うことが多い）や初等幾何の合同≡や相似∽等でも成り立ちます。すると＝と何処が異なるのか？
大雑把に言うと、A=Bのとき数学的対象Γが束縛変数としてBを持たない時にはΓの中のAをBに置き換えてもΓと＝になります。
数学の形式論理にあまりお馴れになって居らっしゃらないようですので、初等幾何の合同≡と＝を例にしてみましょう。
平行四辺形ABCDの対角線ACの中点Eに対して点Bと対称の点をFとするとD=F
従って△CDA=△CFA　また△ABC≡△CDA（△CFA）しかし、△ABCと△CDAは場所も異なり、図形も裏返っている。△ABC≠△CDA
　ところで△ABC∪△CDA＝平行四辺形ABCD（△ABC∪△CFA＝平行四辺形ABCD）
しかし△ABC≡△CDAだからと言って上の△CDAを△ABCに置き換えた
△ABC∪△ABC＝△ABCで　≠平行四辺形ABCD
このような事を例で形式論理で言っているのが、＝は＝、⇔は≡に相当するものとお考えください。

補足日時：2013/04/02 18:08