因数定理、割り切れるとは？

因数定理が理解不足です。

ウィキには
f(x) = x3 + 4x2 + 3x － 2　とすると、f(－2) = 0 が成立するから f(x) は x － (－2) で割り切れる。

この割り切れるという意味がわかりません。
またこのような式は因数定理以外で因数分解の回答を導くことはできますか？

よろしくお願いします。

No.6 回答者： 178-tall 回答日時： 2013/03/31 11:39

業界用語では「剰余の定理」らしいですね。

　　　↓
参考 URL

　　　

参考URL：http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/koukou/joyo_in …

No.5 回答者： alice_44 回答日時： 2013/03/30 23:55

←A No.4

それは、因数定理ではなく、因数定理の逆です。逆は、単に自明で、わざわざ定理と呼ぶ必要も
ないと思いますが…

No.4 回答者： bgm38489 回答日時： 2013/03/30 23:36

f(x)=x^2-3x+2について考えましょう。

これは、f(x)=(x-1)(x-2)と因数分解できます。
f(1),f(2)はどうなるでしょう。因数分解した式に代入すれば、どちらの値も0になるのはわかりますね？
すると、因数定理とはそういうものなのです。因数分解した一方の式がx-aとなっていれば、f(a)=0となる。反対に、f(a)=0ならば、x-aを因数として持つので、x-aで割り切れる、ということなのです。

因数定理を使って、因数分解をとくことなんて、まれですよ。与式x^3+4x^2+3x-2であれば、
=x^3+4x^2+4x-(x+2)
=x(x+2)^2-(x+2)
=(x+2)(X^2+2X-1)
という風に、解きます。因数分解せよ、という問題は、因数分解できるわけですから、こういう場合はどうすれば早道か知っておけばよい。
因数分解するために因数定理があるのではなく、因数分解に基づいた因数定理をさまざまなところで利用する、と捉えておいてください。

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2013/03/30 20:29

多項式 f(x) が多項式 p(x) で「割りきれる」とは、

f(x) = p(x) q(x) が成り立つ(恒等式になる)ような
多項式 q(x) が存在することです。

p(x) = x+2 であれば、f(x) = (x+2) q(x) となる
ような多項式 q(x) が在ること。
それが f(-2) = 0 と同値だ…というのが、因数定理です。

因数定理を使って因数分解をするには、f(a) = 0 となる
a を思いつかなければならず、因数定理で解くというよりも
思いつきで解いているのが実状です。

それ以外の方法で…というと、解公式を使うことになりますが、
解公式が存在するのは、多項式の内、1,2,3,4 次式だけです。

No.2 回答者： j-mayol 回答日時： 2013/03/30 17:34

割り切れるとはあまりが出ないことです。

数字の割り算と同様、数式の割り算でもあまりが出ることがあります。それは割る側の数式の次数より小さい次数になります。1次式で割れば０次の余り、２次式で割れば次数が１次以下の余り・・・が生じる可能性があります。
例えば　f(x) = x3 + 4x2 + 3x － 2　をｘ＋１で割ると　余りは-2になります。
x3 + 4x2 + 3x － 2=(x+1)(x^2+3x)-2
割り切れるとはこういうあまりが出ないことです。
x+2で割ったときは
x3 + 4x2 + 3x － 2=(x+2)(x^2+2x-1)　
となりあまりは出ません。
一般的に３次以上の次数の因数分解は因数定理を使うのが楽です。公式に当てはまるものは除きますが・・・。

No.1 回答者： soixante 回答日時： 2013/03/30 17:27

簡単な式で考えてみると、

f(x)=x^2+2x-3

f(1)=0 ですよね。

因数分解をすると、
f(x)=(x-1)(x+3)

この形で見ると、f(1)=0になることが分かりますよね。

＞因数定理以外で因数分解の回答を導くことはできますか？

三次方程式の解の公式で解いてもいいですが面倒極まりないのでは。

http://yosshy.sansu.org/3jieq.htm