∫√(x^2 +1)dxの計算

∫√(x^2 +1)dxは、t=x+√(x^2 +1)と置いて計算すると参考書に書いてありましたが、模範解答の最後の２行は

=(1/2)(1/2)(t+ 1/t)(1/2)(t -1/t)+(1/2)log|t|+C
=(1/2){x√(x^2 +1) +log(x+√(x^2 +1))+C ・・・(答)

となっていました。
実際にtをx+√(x^2 +1)に戻して計算してみましたが、とても煩雑な式になってしまい、うまく答えにたどり着けません。
特に上の模範解答の２行の前半部分について、(1/2)(1/2)(t+ 1/t)(1/2)(t -1/t)=(1/2)x√(x^2 +1)と変形できません。
通分しても分母・分子ともにごちゃごちゃした式になっていて手が止まってしまいました。
それでも分母の有理化なり分子の因数分解なりを力技でしないと解答にたどり付けないのでしょうか。
すっきり変形できる方法があればよろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： sunflower-san 回答日時： 2013/04/24 14:59

次のように変形されてはどうですか。

t = x+√(x^2 +1)より
t - x =√(x^2 +1)
すなわち (t - x)^2=x^2+1
よって (左辺)-(右辺) = t^2 -2tx -1=0

両辺をtで割って t -2x -1/t =0
すなわち
t -1/t = 2x
両辺を2で割って
(1/2)(t -1/t) = x 式(1)

また、
(1/2)(t+ 1/t)
= t - (1/2)(t -1/t)
= (x+√(x^2 +1)) -x
= √(x^2 +1) 式(2)

式(1),(2)より
(1/2)(1/2)(t+ 1/t)(1/2)(t -1/t)
= 1/2 × √(x^2 +1) × x
= (1/2)x√(x^2 +1)

この回答へのお礼

なるほど…
唸ってしまいました(笑)
自分では思いつかないかもしれませんが、とてもすっきり計算できるんですね。
この方法も覚えておくようにします、ありがとうございました。

お礼日時：2013/04/24 17:04

No.3 回答者： info22_ 回答日時： 2013/04/24 15:42

計算式をよく観察しながら、計算を進めれば答えの式にたどりつけますよ。

I=(1/2)(1/2)(t+ 1/t)(1/2)(t -1/t)+(1/2)log|t|+C
=(1/8)(t^2 -1/t^2)+(1/2)log|t|+C
t=√(x^2+1)+x(>0)を代入して
I=(1/8){(√(x^2 +1)+x)^2 -1/(√(x^2 +1)+x)^2}
+(1/2)log(x+√(x^2 +1) +C
=(1/8){(√(x^2 +1)+x)^2
-(√(x^2 +1)-x)^2/((x^2 +1)-x^2)^2} ←分母の有理化
+(1/2)log(x+√(x^2 +1) +C
=(1/8){(√(x^2 +1)+x)^2 -(√(x^2 +1)-x)^2}
+(1/2)log(x+√(x^2 +1) +C
=(1/8){4x√(x^2 +1)}+(1/2)log(x+√(x^2+1) +C
=(1/2){x√(x^2 +1) +log(x+√(x^2 +1))} +C …(答)

この回答へのお礼

よくわかりました、でも相当煩雑ですね(泣)
しっかり計算できるようにします、ありがとうございました。

お礼日時：2013/04/24 17:07

No.1 回答者： yyssaa 回答日時： 2013/04/24 14:58

分母を有理化するだけです。

特に上の模範解答の２行の前半部分について、(1/2)(1/2)(t+ 1/t)(1/2)(t -1/t)=(1/2)x√(x^2 +1)と変形できません。
＞(1/2)(1/2)(t+ 1/t)(1/2)(t -1/t)=(1/8)(t^2-1/t^2)
ここでt^2=2x^2+2x√(x^2 +1)+1
1/t^2=1/{2x^2+1+2x√(x^2 +1)}
={2x^2+1-2x√(x^2 +1)}/{(2x^2+1)^2-4x^2(x^2 +1)}
=2x^2+1-2x√(x^2 +1)だから
(1/8)(t^2-1/t^2)=[2x^2+2x√(x^2 +1)+1-{2x^2+1-2x√(x^2 +1)}]/8
={4x√(x^2 +1)}/8=(1/2)x√(x^2 +1)

この回答へのお礼

有理化だけでよかったのですか、しかしなかなか根気が要りますね(汗
回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/04/24 17:05