【代数】aとbが互いに素であるとは？

Question

単項イデアル整域Rにおいて、とある元aを素元分解すると、
a=xyzと分解できた。
このときxとyは互いに素であるから、これらで生成される２つのイデアルRxとRyは互いに素である。
つまり、Rx+Ry=Rが成り立っている。

という文章についてなんですが、xとyが互いに素である　というのはどういうことなんでしょうか。
文脈から判断するに、互いに異なる（単元倍をのぞく）素元であるという意味だと思うのですか、
違いますか。

また、なぜxとyが互いに素であるならばRx+Ry=Rが成り立つ
（つまり、それらで生成される単項イデアルは互いに素である）
のでしょうか。

ヒントでもいいので、誰かご教示お願いします。

alice_44 · Accepted Answer

何かイロイロ混乱しているようだけれど、
R の異なる素元 x,y は互いに素であることを示せ
という質問ですよね？
文脈上出てきた素元分解 xyz は、質問の事項には
直接関係していません。

R が PID であることを利用してもいいけれど、
素元分解環であることすら仮定する必要はなくて、
一般の整域 R において、直接に証明が可能です。
(素元分解でない環にも、素元は存在します。)

方針としては、素元は必ず既約元であること[1]を示し、
異なる既約元は互いに素であること[2]を示せばよいです。

素元の定義： 環 R の元 x が素元である ⇔
R の元 b,c に対し、x が bc を割り切るならば、
x は b または c を割り切る。
かつ、x は R の単元および零元ではない。

既約元の定義： 環 R の元 x が既約元である ⇔
R の元 b,c が x = bc を満たすならば、
b または c は R の単元である。
かつ、x は R の単元および零元ではない。

互いに素の定義： 環 R の元 x,y が互いに素 ⇔
x,y の公約数は R の単元である。

[1] x が R の素元だとします。
x = bc であれば、x は bc を割り切ることになるので、
素元であることから、x は b または c を割り切ります。

b を割り切る場合を考えましょう。
b = xu となる u が存在することになるので、これを
x = bc へ代入すると、x(1 - uc) = 0 と変形できます。
R が整域であることから x = 0 または uc = 1 ですが、
素元は 0 ではないので、uc = 1。よって、c は単元です。

x が c を割り切る場合には、同様にして、b が単元です。

以上、x は R の既約元であることが示されました。
これは、R が整域であれば、常に成り立ちます。

[2] x,y が R の異なる既約元だとします。
既約元の定義により、x を割り切る数は、
単元または x 自身です。y についても同様です。

x,y がそれぞれ既約元であり、かつ x ≠ y であれば、
x,y の公約数は単元しかありません。
よって、x,y は互いに素と判ります。

sunflower-san · Answer

「x,yが互いに素」の意味は、普通の整数の場合と同じです。
「xとyが(単数以外の)共通の約数を持たない」ということ。(単数は可逆元なのであらゆる数を割り切ります。整数環における±1のような数ですので、(単数以外の)という断りが必要です)

たとえば、14と15はいずれも素数ではありませんが、互いに素です。
そしてn, m が整数全体をわたるとき、14n+15mはあらゆる整数の値をとります。つまり、14Z +15Z = Z
(ここで、Zは整数全体のなす環のことを表すものとします)

一方、21と15は公約数3を持つので互いに素ではありません。
そのためn, m が整数全体をわたるとき、21n+15mはあらゆる3の倍数の値をとりますが、3の倍数以外の値をとることはありません。
つまり、21Z +15Z = 3Z

単項イデアル整域とは、あらゆるイデアルが単項である、つまりただ一つの元で生成される、ということでした。(整数の全体のなす環 Zは単項イデアル整域の基本的な例になっています)
よってRが単項イデアル整域のときは、 Rx +Ry という二項で生成されているイデアルも、実はある元zがあって Rx +Ry =Rzというふうに一つの元で生成されてしまうわけです。いま x, y∈Rx +Ry =Rz であることからx=r z, y=r' z と書けます。つまりzはx, yの公約数なので、もしx, yが互いに素ならばzは単数でなければいけません。単数zについてはRz =R が成立するので、Rx +Ry =Rとなるわけです。

kabaokaba · Answer

まさにNo.2さんのいうとおりで
「互いに素」だからにつきる

RがPIDで，Rx+Ryがイデアルなんだから
Rx=Ry=Raとできる
ここで，aが単元でなければ，aは素元分解できるわけで
xとyが互いに素であることに反するということでしょう．
＃もちろん
＃aがゼロでないのはいうまでもなく・・・

B-juggler · Answer

別段、イデアルだからどうのこうのいう問題でもなく、

「互いに素」は互いに素ですよ？

共通の約数を持たない（１以外の）ってことだよ・・・。

難しく考えすぎだと思うんだけど。

＞互いに異なる（単元倍をのぞく）素元であるという意味だと思うのですか、・・・

うんと、これでいいよ。

厳密に言うとちょっと違うのかもしれないけれどね。

素元かどうかは不明だけど、共通の素元は持たないってこと。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

kabaokaba · Answer

Rxはイデアル
Ryもイデアル
Rx+Ryもイデアル
Rは単項イデアル整域だから，ある要素aがあって
Rx+Ry=Ra
したがって
RxとRyはRaの部分集合
ということは，xとyはRaの要素，つまりx=ka，y=laと表せる
xとyは互いに素なんだから
これはaが単元であることを意味する
つまりRa=R

【代数】aとbが互いに素であるとは？

何かイロイロ混乱しているようだけれど、

「x,yが互いに素」の意味は、普通の整数の場合と同じです。

まさにNo.2さんのいうとおりで

別段、イデアルだからどうのこうのいう問題でもなく、

Rxはイデアル

この回答への補足

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