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単項イデアル整域Rにおいて、とある元aを素元分解すると、
a=xyzと分解できた。
このときxとyは互いに素であるから、これらで生成される2つのイデアルRxとRyは互いに素である。
つまり、Rx+Ry=Rが成り立っている。


という文章についてなんですが、xとyが互いに素である というのはどういうことなんでしょうか。
文脈から判断するに、互いに異なる(単元倍をのぞく)素元であるという意味だと思うのですか、
違いますか。

また、なぜxとyが互いに素であるならばRx+Ry=Rが成り立つ
(つまり、それらで生成される単項イデアルは互いに素である)
のでしょうか。


ヒントでもいいので、誰かご教示お願いします。

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A 回答 (5件)

何かイロイロ混乱しているようだけれど、


R の異なる素元 x,y は互いに素であることを示せ
という質問ですよね?
文脈上出てきた素元分解 xyz は、質問の事項には
直接関係していません。

R が PID であることを利用してもいいけれど、
素元分解環であることすら仮定する必要はなくて、
一般の整域 R において、直接に証明が可能です。
(素元分解でない環にも、素元は存在します。)

方針としては、素元は必ず既約元であること[1]を示し、
異なる既約元は互いに素であること[2]を示せばよいです。


素元の定義: 環 R の元 x が素元である ⇔
R の元 b,c に対し、x が bc を割り切るならば、
x は b または c を割り切る。
かつ、x は R の単元および零元ではない。

既約元の定義: 環 R の元 x が既約元である ⇔
R の元 b,c が x = bc を満たすならば、
b または c は R の単元である。
かつ、x は R の単元および零元ではない。

互いに素の定義: 環 R の元 x,y が互いに素 ⇔
x,y の公約数は R の単元である。


[1] x が R の素元だとします。
x = bc であれば、x は bc を割り切ることになるので、
素元であることから、x は b または c を割り切ります。

b を割り切る場合を考えましょう。
b = xu となる u が存在することになるので、これを
x = bc へ代入すると、x(1 - uc) = 0 と変形できます。
R が整域であることから x = 0 または uc = 1 ですが、
素元は 0 ではないので、uc = 1。よって、c は単元です。

x が c を割り切る場合には、同様にして、b が単元です。

以上、x は R の既約元であることが示されました。
これは、R が整域であれば、常に成り立ちます。


[2] x,y が R の異なる既約元だとします。
既約元の定義により、x を割り切る数は、
単元または x 自身です。y についても同様です。

x,y がそれぞれ既約元であり、かつ x ≠ y であれば、
x,y の公約数は単元しかありません。
よって、x,y は互いに素と判ります。
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この回答へのお礼

助かりました。ありがとうございます。

お礼日時:2013/05/08 17:43

「x,yが互いに素」の意味は、普通の整数の場合と同じです。


「xとyが(単数以外の)共通の約数を持たない」ということ。(単数は可逆元なのであらゆる数を割り切ります。整数環における±1のような数ですので、(単数以外の)という断りが必要です)

たとえば、14と15はいずれも素数ではありませんが、互いに素です。
そしてn, m が整数全体をわたるとき、14n+15mはあらゆる整数の値をとります。つまり、14Z +15Z = Z
(ここで、Zは整数全体のなす環のことを表すものとします)

一方、21と15は公約数3を持つので互いに素ではありません。
そのためn, m が整数全体をわたるとき、21n+15mはあらゆる3の倍数の値をとりますが、3の倍数以外の値をとることはありません。
つまり、21Z +15Z = 3Z

単項イデアル整域とは、あらゆるイデアルが単項である、つまりただ一つの元で生成される、ということでした。(整数の全体のなす環 Zは単項イデアル整域の基本的な例になっています)
よってRが単項イデアル整域のときは、 Rx +Ry という二項で生成されているイデアルも、実はある元zがあって Rx +Ry =Rzというふうに一つの元で生成されてしまうわけです。いま x, y∈Rx +Ry =Rz であることからx=r z, y=r' z と書けます。つまりzはx, yの公約数なので、もしx, yが互いに素ならばzは単数でなければいけません。単数zについてはRz =R が成立するので、Rx +Ry =Rとなるわけです。
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この回答へのお礼

わかりやすい具体例をありがとうございます。

お礼日時:2013/05/08 17:43

まさにNo.2さんのいうとおりで


「互いに素」だからにつきる

RがPIDで,Rx+Ryがイデアルなんだから
Rx=Ry=Raとできる
ここで,aが単元でなければ,aは素元分解できるわけで
xとyが互いに素であることに反するということでしょう.
#もちろん
#aがゼロでないのはいうまでもなく・・・
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この回答へのお礼

なるほど・・・。
ありがとうございます。

お礼日時:2013/05/08 17:44

別段、イデアルだからどうのこうのいう問題でもなく、



「互いに素」は互いに素ですよ?

共通の約数を持たない(1以外の)ってことだよ・・・。

難しく考えすぎだと思うんだけど。

>互いに異なる(単元倍をのぞく)素元であるという意味だと思うのですか、・・・

うんと、これでいいよ。

厳密に言うとちょっと違うのかもしれないけれどね。

素元かどうかは不明だけど、共通の素元は持たないってこと。

(=^. .^=) m(_ _)m (=^. .^=)
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Rxはイデアル


Ryもイデアル
Rx+Ryもイデアル
Rは単項イデアル整域だから,ある要素aがあって
Rx+Ry=Ra
したがって
RxとRyはRaの部分集合
ということは,xとyはRaの要素,つまりx=ka,y=laと表せる
xとyは互いに素なんだから
これはaが単元であることを意味する
つまりRa=R

この回答への補足

無知でごめんなさい。
xとyは互いに素なんだから
これはaが単元であることを意味する
を詳しく教えてください。

補足日時:2013/05/05 23:12
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

お礼日時:2013/05/08 17:44

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Q同型とは?

複素解析の本に
『複素数からその共役にうつる演算は体Cの1つの自己同型である』
とか
『体Cの同型で部分体Rの元を動かさないものはα→α(つまりなにも動かさぬ同型)とこの共役に限る』
とあるんですが、『同型』という言葉の定義について何も書いてありません。

同型とはなんですか?

Aベストアンサー

2つの体KとLが同型というのは、
KとLが同じ構造をしている
ということで、ぶっちゃけた話
KとLは同じものだと思ってもさしつかえないよ
ということです。
(これは私の同型というものに対するイメージです。)

厳密には、
2つの体KとLが同型というのは、KからLへの同型写像がある
というもので、同型写像とは
全単射な準同型写像
のことです。
KからLへの準同型写像とは
任意のa,b∈Kに対し f(a+b)=f(a)+f(b),f(ab)=f(a)f(b)
を満たすKからLへの写像(関数)fのことです。

例を1つ。
R^2={(x,y)| x,yは実数}と複素数体Cは同型です。
R^2からCへの写像fを
f(x,y)=x+iy (iは虚数単位)
と定めるとfは同型写像になるからです。
R^2とCは同型なのですから
R^2とCはほとんど同じものだと考えてよいことになります。

また、自分から自分への(つまりCからCとか)の同型写像を
自己同型写像、あるいは略して自己同型といいます。
f(x+iy)=x-iy というある複素数をその共役に写すという写像fは
自己同型写像になりますよ、というのが
>『複素数からその共役にうつる演算は体Cの1つの自己同型である』
の述べていることです。

詳しく知りたいのでしたら代数学の本をひもとく必要がありますが、
そこを理解しないと先へ進めないということもないでしょうから、
(というのは質問にある『体Cの同型でうんぬんなんてのは
複素解析を学ぶ上でははっきり言ってどうでもいいことだからです)
頭の片隅にでも残しておいて飛ばしてもいいと思いますよ。

2つの体KとLが同型というのは、
KとLが同じ構造をしている
ということで、ぶっちゃけた話
KとLは同じものだと思ってもさしつかえないよ
ということです。
(これは私の同型というものに対するイメージです。)

厳密には、
2つの体KとLが同型というのは、KからLへの同型写像がある
というもので、同型写像とは
全単射な準同型写像
のことです。
KからLへの準同型写像とは
任意のa,b∈Kに対し f(a+b)=f(a)+f(b),f(ab)=f(a)f(b)
を満たすKからLへの写像(関数)fのことです。

例を...続きを読む

Q商空間の概念が全く分かりません

http://pantodon.shinshu-u.ac.jp/topology/literature/quotient_topology.html

商空間の定義はここに書かれてある通りなのですが、
これを呼んでもどういうものなのか全くよく分かりません。
そもそも商という名前がついているのに、どこに商(割り算)のような因子が含まれているのでしょうか?
どなたか具体例を挙げて教えて下さい。

Aベストアンサー

>写像f:X->Yが空間Xより空間Yへ全射な連続写像とする。ただしYは商位相をもっている。Zを空間としたとき写像g:Y->Zが連続である必要十分条件は、
合成写像gf:X->Zが連続写像となることである。

・・・これは定義じゃないですな.
そもそも「商空間」ですらない.
商空間にいれる「自然な位相」のことを
「商位相」というんだけども
商空間と商位相はまったく別物.
もっと初歩的な位相空間・代数・位相幾何の本を読みましょう.
その本は間違いなくあなたにはレベルが高すぎるのでしょう.

集合X上の関係Rで以下の条件を満たすものを同値関係という
Xの任意の元x,y,zにたいして
(1) xRx
(2) xRy <=> yRx
(3) xRy かつ yRz ならば xRz
この同値関係Rを用いて,Xの任意の元xに対して
集合{y∈X | yRx}を定める.これをxのRによる同値類といい
[x]と表す.
このとき,同値類の集合{[x] | x∈X}を
X/R と表し,XのRによる商集合(商空間)という.
#これはまさに同値関係でつながるということで
#空間を割り算しているようなもの

このとき,自然な写像
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これを商空間への「射影」と呼ぶ.

Xが位相空間であるとき,射影p_Rが連続となる
最小の位相をX/Rに導入する.
すなわち,Xの任意の開集合Oに対して,
X/Rの部分集合 p_R^{-1}(O) が開集合であるとして
X/Rに位相を導入する.
この位相のことを,X/Rの商位相という.

これを拡大解釈して,
一般に全射 f:X -> Y に対して
f^{-1}(O) (OはYの開集合)がXの位相を定めるときに
Xには商位相が入っているという.
このとき,写像g;Y -> Zを考える.
Zの開集合Oに対して,gf:X->Zに対して
(gf)^{-1}(O)= f^{-1}(g^{-1}(O))
であることに注意する.
gが連続であるならば,fが連続なので合成gfは連続
gfが連続あるならば,
(gf)^{-1}(O)=f^{-1}(g^{-1}(O))
は開集合.fは連続で,Xは商位相をもつので
Yの開集合Vが存在して,V=g^{-1}(O)とできる
すなわし,gは連続である.

以上かな.
大抵の基本的な本にはこの程度のことは
必ず出てるから,大学生にしては調べ方や
本の探し方がかなり甘いといわれても仕方がないでしょう.

>写像f:X->Yが空間Xより空間Yへ全射な連続写像とする。ただしYは商位相をもっている。Zを空間としたとき写像g:Y->Zが連続である必要十分条件は、
合成写像gf:X->Zが連続写像となることである。

・・・これは定義じゃないですな.
そもそも「商空間」ですらない.
商空間にいれる「自然な位相」のことを
「商位相」というんだけども
商空間と商位相はまったく別物.
もっと初歩的な位相空間・代数・位相幾何の本を読みましょう.
その本は間違いなくあなたにはレベルが高すぎるのでしょう.

集合X上...続きを読む

Q有限アーベル群Gの位数が相異なる2素数p、qの積であるとき、Gは巡回群

有限アーベル群Gの位数が相異なる2素数p、qの積であるとき、Gは巡回群であることを示せ。


という問題があるのですがよくわかりません。できれば詳しく教えていただけると嬉しいです!

Aベストアンサー

大抵の教科書に書いてありませんか?
構造定理を使わずに、手作りっぽく
書いてみると…

G の元で、単位元でないモノの一つを a とし、
a が生成する G の部分群を A とする。
A の位数は、ラグランジェの定理より、
G の位数の約数 1,p,q,pq のどれかになる。
(0) 位数が 1 の場合。
a が単位元でないから、これはありえない。
(1) 位数が p の場合。
可換群の部分群は全て正規部分群だから、
G は A と商群 G/A の直積に分解する。
A,G/A は位数 p,q の部分群であり、
素数位数だから巡回群である。
巡回群同士の直積群は、巡回群となる。
(2) 位数が q の場合。
同上。
(3) 位数が pq の場合。
単項生成の部分群は巡回群だから、
G = A は位数 pq の巡回群になる。

Q「ax+by=1を満たす整数x,yが存在する⇔aとbは互いに素」という命題の証明

参考書に載っていた命題の証明で分からない部分がありました。

命題:a,bが0でない整数のとき「ax+by=1を満たす整数x,yが存在する⇔aとbは互いに素」
(⇐の証明)
a,bは互いに素であるから、「a,bは互いに素な自然数とするとき、b個の整数a・1,a・2,a・3,……abをそれぞれbで割った余りはすべて異なる」という定理から、b個の整数a・1,a・2,a・3,……abをそれぞれbで割った余りはすべて異なる。ここで、整数をbで割ったときの余りは0,1,2,……,b-1のいずれかでb通りあるから、akをbで割った余りが1となるような整数k(1≦k≦b)が存在する。
akをbで割った商をl(エル)とすると
ak=bl+1、すなわちak+b(-l)=1
よって、x=k,y=-lはak+by=1を満たす。
すなわち、ax+by=1を満たす整数x,yが存在することが示された。


a,bは互いに素であるから、「a,bは互いに素な自然数とするとき、b個の整数a・1,a・2,a・3,……abをそれぞれbで割った余りはすべて異なる」という定理から、b個の整数a・1,a・2,a・3,……abをそれぞれbで割った余りはすべて異なる。
とありますが、この命題ではa,bについては0ではない互いに素な整数であることは分かっていますが、どちらも負の数またはどちらかが負の数であることもあり得ると思います。
その時にもこの定理は成り立つといえるのでしょうか。また、成り立つとしても、その証明を書かずして「b個の整数a・1,a・2,a・3,……abをそれぞれbで割った余りはすべて異なる」に帰結してしまってよいのでしょうか。

参考書に載っていた命題の証明で分からない部分がありました。

命題:a,bが0でない整数のとき「ax+by=1を満たす整数x,yが存在する⇔aとbは互いに素」
(⇐の証明)
a,bは互いに素であるから、「a,bは互いに素な自然数とするとき、b個の整数a・1,a・2,a・3,……abをそれぞれbで割った余りはすべて異なる」という定理から、b個の整数a・1,a・2,a・3,……abをそれぞれbで割った余りはすべて異なる。ここで、整数をbで割ったときの余りは0,1,2,……,b-1のいずれかでb通りあるから、akをbで割った余りが1となるような整...続きを読む

Aベストアンサー

あのー、a>0、b>0のとき、成立つのを仮定すれば、
たとえば、a<0、b>0のときは、|a|x+by=1に整数解x、yがあるのだから
a(-x)+by=-ax+by=|a|x+by=1 
となって、この場合にも整数解のあることが分かります。
また、aもbも負のときは、|a|x+|b|y=1に整数解x、yがあるのだから
a(-x)+b(-y)=1 となって、この場合にも整数解があります。
つまり、a、b両方が正のとき証明できたら、a、bどっちかもしくは両方負でも証明できるのです。

Qwell-definedについて

ある問題集に以下のことが書かれていました。
「整数aのmを法とする剰余類は
[a]={x|x≡a(mod m)}とする。
また、Z/mZ={[x]m|x∈Z}とする。
a,b∈Z、剰余類に加法+を定義する:
[a]+[b]=[a+b]
これは代表元の選び方に依存しない。
すなわち演算+はwell-definedである。」

ここで何故「これは代表元の選び方に依存しない。
すなわち演算+はwell-definedである。」
といえるのですか?
よく意味が分かりません。教えてください。

Aベストアンサー

商空間に演算を入れるときはいつでもwell-definedを証明しなくてはなりません。やさしいので出来れば自力でやっていただきたいですが、おそらく初めてのことだろうと思うので、一例です。参考にしてみてください。

今、ある代表元、a,bを取ってきて、[a]+[b]を[a+b]で定義します。
そして別の代表元a'、b'を取ってきて[a'+b']を計算したとします。
もし[a+b]=[a'+b']でないのなら、この演算は代表元の取り方に依存したことになりますし、
逆にこれが等しいのであれば、代表元の取り方には依存しないわけです。

さて、(a+b)-(a'+b')=(a-a')+(b-b')です。
いま、aもa'もともに同じ剰余類[a]に属していますから、mで割った余りは等しい。
したがって(a-a')|mです。つまりmで割り切れる。
同様に(b-b')もmで割り切れます。
つまり、(a+b)-(a'+b')はmの倍数なわけです。
したがって、a+bとa'+b'は同じ剰余類に属します。
すなわち[a+b]=[a'+b']という分けです。

これは合同式の演算の正当化でもあります。
x≡y (mod m)
z≡w (mod m)
であれば、
x+z≡y+w (mod m)
というものです。余りだけ見るのだから、
余りが等しいものなら何で計算してって一緒(well-defined!)
というわけですね。

商空間に演算を入れるときはいつでもwell-definedを証明しなくてはなりません。やさしいので出来れば自力でやっていただきたいですが、おそらく初めてのことだろうと思うので、一例です。参考にしてみてください。

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Q環の直積のイデアルについて

A、Bが環である時、A×BのイデアルはI×J (ただし、IとJはそれぞれAとBのイデアル)という形で書けますか?
もしそうなら証明も教えください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

単位元がない環の場合、次が反例になりそうです:

  gを2以上の整数として、
  A = B = gZ (gで割り切れる整数全体)
  K = <(g, g)> ((g, g)で生成されるイデアル)

Kは、次のように書くこともできます:

  [1]  K = {(a, b) | a≡b≡0 mod g, a≡b mod g^2 }

もし、K = I×Jなら、

  [2]  I = { a | (a, 0)∈K }
     J = { b | (0, b)∈K }

なので、[1]により、

  I = (g^2)Z
  J = (g^2)Z
   (g^2で割り切れる整数全体)

でなければなりません。すると、I×Jに(g, g)が含まれないことになり、矛盾です。

[1]と[2]は、それほど自明でないかもしれませんが、証明できると思います。


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