球の体積を求めるときの積分範囲について

球の体積を求める時の積分範囲が
r方向が0からr
θ方向が0からπ
φ方向が0から2π
になる理由が分かりません。

なぜθ方向も球なんだから2πまで積分しないのかわかりません。
それと、θとφ方向の積分範囲が逆になってしまってはだめなんですか？

No.6 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2013/05/28 04:34

No.1です。

>なぜθ方向も球なんだから2πまで積分しないのかわかりません。

体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直さないといけないですね。

>それと、θとφ方向の積分範囲が逆になってしまってはだめなんですか？

体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直していれば
θとφ方向の積分範囲が逆になっても何ら問題ありません。
体積を正しく積分の式に直せていないところに問題があるのです。
機械的に体積要素を(r^2)sinθdrdθdφと思い込んでしまっていることが
間違いの原因です。
体積V（必ず正）を求める時は、体積要素dV=dxdydzも正でなければ
ダメです。
dV=dxdydz=(r^2)sinθdrdθdφ>0
がπ≦θ≦2πで成り立たないことに気がつかないといけないですね。
体積Vが微小な正の積分要素dVを体積Vの領域全体にわたって足し合わせたものです。負の積分要素が現れるのは体積Vが正しく積分の式で表せていないことを意味します。これは最も基本的な体積積分の概念です。
積分範囲を機械的に置き換えることは問題なくても、積分要素dVが負にならないということに反するような積分の式はおかしいと考えないといけないですね。つまり、積分要素dV（すなわち被積分関数）が正しく表せていないことに気がつかないといけないですね。

以下を熟読してあなたの疑問を解決してください。

球座標(3次元での極座標の１つ)で計算しているのだからANo1で述べた通り、
定石通り計算すれば
V=∫∫∫{x^2+y^2+z^2≦R^2(R≧0)} dxdydz
=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π} |J|drdθdφ
となります。
参考URLをご覧になって下さい。
Jはヤコビ行列、|J|は正確にがヤコビ行列の行列式det(J)の絶対値になります。

ヤコビアン|J|は球座標では
det(J)=(r^2)sinθなので
|J|=(r^2)|sinθ|　...(※)
となります。
積分範囲0≦θ≦πではsinθ≧0なので |J|=(r^2)sinθ
となります。
V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π} |J|drdθdφ
=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π} (r^2)sinθdrdθdφ...(☆)

この積分を積分範囲{0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π}で積分しても構いませんがこの時は(※)に戻って
V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π} |J|drdθdφ
0≦θ≦2πではsinθが正負の値をとるので
|sinθ|=sinθ(0≦θ≦πの時)、|sinθ|=-sinθ(0≦θ≦2π)
となるので
V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π} (r^2)|sinθ|drdθdφ...(◆)
で球の体積を計算しないといけないということです。

体積要素dVで言えば
dV=dxdydz=|J|drdθdφ=(r^2)|sinθ|drdθdφ
となります。これを球の体積の場合、球の内部を重複しない積分範囲で積分すれば良いというわけです。
積分範囲は
(A){0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦2π}
(B){0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π}
(A),(B)いずれでも構いませんが
被積分関数のsinθに絶対値がついていることに
注意しないといけません。

(※)のヤコビアン|J|=(r^2)|sinθ|は
0≦θ≦πでは|J|=r^2sinθ
π≦θ≦2πでは|J|=-r^2sinθ
となるので
(A)の場合の体積Vの積分は(☆)の式になりますが、
(B)の場合の体積の積分は（◆）の式になって|sinθ|の絶対値を外せば
V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π} (r^2)|sinθ|drdθdφ
=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦π} (r^2)sinθdrdθdφ
+∫∫∫{0≦r≦R,π≦θ≦2π,0≦φ≦π} (r^2)(-sinθ)drdθdφ
=2∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦π,0≦φ≦π} (r^2)sinθdrdθdφ

この積分計算を質問者さんは,|sinθ|の変わりにsinθとしてしまったことにより

V=∫∫∫{0≦r≦R,0≦θ≦2π,0≦φ≦π} (r^2) sinθdrdθdφ
=0
という球の体積がゼロ？となると誤った結果が出るのです。

質問の疑問はとけましたか？

これは以下の面積Sの積分計算に類似した誤りに通ずるものがあります。
重要なので繰り返しますが
体積Vと積分の式の関係を正しく理解して体積を積分の式に直さないといけないですね。

y=sinθとx軸（θ軸）で囲まれた範囲[0～2π}面積Sを求めるとき、機械的に積分すれば　S=∫[0→2π} sinθdθ=0
というおかしな結果が出ます。面積はy=sinθのグラフを描けば、有るので、
S=∫[0→π} sinθdθ+∫[π→2π} (0-sinθ)dθ
=∫[0→2π} |sinθ|dθ=2∫[0→π} sinθdθ=4
のようにsinθの絶対値をとれば正しい面積Sが求まります。

参考URL：http://wasan.hatenablog.com/entry/20110319/13005 …

No.5 回答者： CC_T 回答日時： 2013/05/27 17:39

r方向が0からr

　→すなわち、中心から表面までの線に相当しますね。

この「線」を、θ方向が0からπまで積分すると・・・
　→半径rの半円の面積を示す事になります。

で、この半円の直径を中心軸φとして１回転（2π）させると（φ方向が0から2π）・・・
ほら、球になる。


ところで、θ方向を0から２πまでで積分すると、それは半径ｒの「円」に等しくなりますね。
円の半径を軸にして0から2πまで積分しようとすると、180度以上（πから２π）が重複します。
θを0から2πまで積分した場合は、φ方向は0からπまで積分するだけで球が出来上がるのです。

r方向を0からr、θ方向を0からπ、φ方向を0から1/2π・・・と積分すると、４つ切り球。
r方向を0からr、θ方向を0からπ、φ方向を0からπ・・・と積分すると、半球。
r方向を0からr、θ方向を0からπ、φ方向を0から3/2π・・・と積分すると、３Dパックマン形状
r方向を0からr、θ方向を0からπ、φ方向を0から2π・・・と積分すると、球

ミカンでも剥きながらイメージしてみてください。


あと、θ軸とφ軸が逆になっても何ら問題ない。軸をどうとるかは相対的な話にすぎませんので。

参考URL：http://irare.img.jugem.jp/20100930_1795981.jpg

この回答への補足

回答ありがとうございます。
確かに、回転の順序がただ変わるだけなので、
θを0から2πまで、積分すると、φは、0からπまで積分するだけで、球が出来上がるというのはイメージできるのですが、
それを実際に計算するとなった場合、被積分関数のsinθは、0から2πまで積分すると0になるので、球の体積は、0となってしまいます。
これはなぜなのでしょうか？

補足日時：2013/05/27 22:08

No.4 回答者： tentolan 回答日時： 2013/05/26 13:16

こんにちは、

なぜ ０ になってしまうのか、
式をご提示いただかないと分かりませんが、

(A) θ を π、φ を ２π
(B) θ を ２π、φ を π

のどちらでも、同じ答えとなります。

半円を 360度 回転させるのか、
円を 180度 回転させるのか、
の違いですね。

(A)
[0,R]r dr
[0,π]rθ dθ
[0,2π]φ dφ

(B)
[0,R]r dr
[0,2π]rθ dθ
[0,π]φ dφ


頑張ってください！

この回答への補足

回答ありがとうございます。

球の体積を求める式は、

V=∫[0 to r]∫[0 to 2π]∫[0 to π]r^2sinθdθdφdrとなると思うのですが、
θに関して、0から2πまで積分した場合は、sinは、１周期に渡って積分すると、0となるので、
答が、0となってしまいました。

なにか単純に勘違いしているのかもしれませんが。

補足日時：2013/05/26 18:16

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2013/05/25 18:37

r, θ, φ って何ですか？

それをハッキリさせないと、質問が意味を成しませんよ。

積分範囲は、体積を求める立体を一重に覆えばいいんです。
球なら、普通は、
中心からの距離が 0 から 球の半径まで、
東経が -180°から 180°まで(マイナスは西経を表す)、
北緯が -90°から 90°まで(マイナスは南緯を表す)
で積分するんじゃないですかね。

貴方の θ が、(北緯+90°)を弧度法で表しているのなら、
だから、0 ≦ θ ≦ π になるんでしょうね。
これを θ > π まで延長すると、北極を通過して
地球の反対側を二重に覆ってしまいます。

No.2 回答者： tentolan 回答日時： 2013/05/25 18:27

積分はその名の通り、集めて次元をひとつ上げることです

こんにちは、


点を積分すると線を求められます。
線を積分すると面積を求められます。
面を積分すると体積を求められます。

積分の仕方で長方形の面積や球の体積を求めることができます。


原点O(0,0)からX軸上の点A(a,0)までの線分OAを
XZ平面上で原点Oを中心として 180度(π) 回転させます。

すると、XZ平面に半径 a の半円ができます。


この半円をX軸を中心として 360度(2π) 回転させます。

すると、原点Oを中心として半径 a の球ができますね。


点が線に、線が面に、面が立体になっていく様子が分かると積分も面白くなると思います。


頑張ってください！

この回答への補足

積分範囲は、分かりました。
しかしまだよくわからないことがあります。
θの積分範囲を0から2π
φの積分範囲を0からπとするのはなぜだめかです。

前に球の体積を求めよという問題で、最初にθの積分範囲を0から2πに設定し、積分値が0になってしまったことがありました。

それで、答えを見たら、φの積分範囲が、0から2πになっていたのですが、なんでか分かりませんでした。
それについて教えて頂けないでしょうか？

補足日時：2013/05/25 20:07

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2013/05/25 17:41

球座標系を復習しなおして下さい。

参考URL
ttp://keisan.casio.jp/exec/system/1359512223

直交座標系の座標(x,y,z)を球座標系の座標(r,θ,φ)で表せば

　x=rcosφsinθ
　y=rsinφsinθ
　z=rcosθ

逆に球座標系の座標(r,θ,φ)を直交座標系の座標で表せば
　r=√(x^2+y^2+z^2)
　θ=tan^-1 [{√(x^2+y^2)}/z]
　φ=tan^-1(y/x)

直交座標の点(x,y,z)と球座標の点(r,θ,φ)が1:1に対応するには
x,y,zは実数の全範囲　⇔　0≦r,0≦φ＜2π,0≦θ≦π　...(※)
とすればよい訳です。

上の参考サイトで任意の(x,y,z)を与えれば、
0≦r,0≦φ＜2π,0≦θ≦πの範囲の(r,θ,φ)が1組だけ決まることが
分かるでしょう。
確認してみて下さい。

そうすれば、(※)の(r,θ,φ)の取りうる範囲が(※)でいいことが分かるでしょう。
なお、(※)を度数法の角度に直せば
　0≦r,0°≦φ＜360°,0≦θ≦180°
となります。

球の体積の積分では(r,θ,φ)の範囲は
rの上限が球の半径Rになるだけで、角度の範囲は(※)の範囲と同じです。
次の参考URLの2ページ目の「球座標系」のところのをご覧になって下さい。
ttp://szksrv.isc.chubu.ac.jp/xml/coordinate/coordi6.xml

球の体積Vは体積素dV=「r^2*sinθdrdθdφ」を
>球の体積を求める時の積分範囲が
>r方向が0からR(球の半径)
>θ方向が0からπ
>φ方向が0から2π

で積分すれば球全体について積分することになります。

図と積分範囲を見比べていただけばお分かりになるかと思います。

参考URL：http://szksrv.isc.chubu.ac.jp/xml/coordinate/coo …