子供の算数の問題です。 難しくうまく説明できません

子供の算数の問題です。
難しくうまく説明できません・・・父の威厳に関わるので（笑）宜しくお願いいたします。

問・3つの容器A,B,Cにそれぞれ3％、6％、10％の食塩水が100ｇずつはいています。容器Ｂ，Ｃの食塩水からそれぞれ何gかずつ取り出して、容器Aに入れかき混ぜ混ぜました。次ぎに容器B、Cから取り出したのお同じ量の食塩水を、容器Aから取り出してそれぞれの容器に戻し、残っている食塩水とかかき混ぜたところ、容器AとBの食塩水の濃さが同じになりました。この時次の問に答えなさい。
１）容器Cから容器Aに入れた食塩水は何ｇですか。
２）戻した容器Cの食塩水の濃さは何％ですか。

明治大学明治中の入試問題です・・・
ｘやｙを使わずに説明できますでしょうか？

No.13 回答者： stomachman 回答日時： 2013/07/12 16:59

ANo.10でOKなんです。

この回答へのお礼

多くの皆さん。いろいろな答え及び意見、ありがとうございました。
問題の本質を数学より国語力に求めている事が分かりました。
今夜は、うまい酒が飲めそうです（笑）

答えて下さった皆様全てに感謝いたします。
ありがとうございました。

お礼日時：2013/07/12 17:31

No.10 回答者： stomachman 回答日時： 2013/07/12 16:48

　「薄い食塩水アに濃い食塩水イを加えて食塩水ウを作る」と何が起こる？というキホンを、まずしっかり分かってる必要がありましょう。

(a) 食塩水ウの濃度は、食塩水アと食塩水イの中間の濃度にしかならない。
　もちろん、イの濃度とアの濃度が同じなら、どう混ぜたって濃度は変わらない。別の言い方をすれば、混ぜた食塩水の濃度を上げるのに効くのは、「イの濃度がアの濃度よりどれだけ高いか」ということ。アの濃度がどうでも、関係ない。
なので、
(b) 食塩水アの濃度を基準にして、「食塩水イを加えると濃度が幾ら増えるか」という差だけを考えれば良い。
　たとえば、ウの濃度が決められている場合にイを加える量を知りたいのなら、
アにおける食塩の不足分：　
　　（ウの濃度-アの濃度）×（アの量）
を丁度埋め合わせる分だけ、
濃度を濃くするのに効く食塩の追加分：　
　　(イの濃度-アの濃度）×（加える量）
があればいいということなんだから、
　　（加える量）=（（ウの濃度-アの濃度）×（アの量））÷（イの濃度-アの濃度）
なんだよな。

となれば、「濃度の差」に着目するのは当然でしょ。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　AにBとCからそれぞれ何gかずつ入れた後の時点に注目する。

(CASE 1) AにBとCからそれぞれ何gかずつ入れた後、Aの食塩水の濃度は6%ではなかったとする。
(CASE 1-1) Aの食塩水の濃度は6%ではなくて、しかもBには6%の食塩水が残っていたとする。
　すると、AからBへ幾ら戻しても、Bの濃度は元の濃度6%とAの濃度との中間にしかならないから、AとBの濃度が同じになることはない。これじゃダメ。

(CASE 1-2) Aの食塩水の濃度は6%ではなくて、しかもBがカラッポだったとする。
　すると、「それぞれ何gかずつ」というのは100gだった。この時点でAには300g中(3+6+10)=19gの食塩が入っていて、つまりAには(19/3)%の食塩水が300gあり、B, Cはカラッポである。
　そこで、Aから100gずつBとCに戻せば、Cの食塩水の濃度ももちろん(19/3)%になる。

答：
１）容器Cから容器Aに入れた食塩水は100g
２）戻した容器Cの食塩水の濃さは(19/3)%

　んー。これでOKだ。おっと、Aの濃度が丁度6%の時にどうなるかはまだ考えてなかった。

(CASE 2) AにBとCからそれぞれ何gかずつ入れた後、Aの食塩水の濃度はBと同じ6%だったとする。
　AからBへ幾ら戻しても、AとBの食塩水の濃度はどちらも6%のまま。これでもOKだ。
　ってことは、問題は「Aが6%の食塩水になるためには、「それぞれ何gかずつ」というのは何gであれば良いか」ということ。

　さてここで、「AにBとCからそれぞれ何gかずつ入れ」るというのを、
　　STEP1:　Cから10%の食塩水をAに何gか入れてかき混ぜ混ぜまして、それから
　　STEP2:　Bから6%の食塩水をAに何gか入れてかき混ぜ混ぜましたらAが6%になった
という手順でやっても同じことだ。
　もし、STEP1が終わったときのAの食塩水の濃度が6%ではなかったとすると、STEP2で6%の食塩水を幾ら入れても、STEP2が終わった時のAの濃度は6%にはならない。（これは前に考えた通りだ。）
　だから、STEP1が終わったとき、すでにAの食塩水の濃度は6%だったのだ。
　ってことは、問題は「3%の食塩水100gに、10%の食塩水を何g加えれば、6%の食塩水ができるでしょー？」というのと同じ。

　これならイツモのやつだ。ちょいちょいっと。

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というわけで、答が二つある。それって、入試問題としてはどうかなー。

No.9 回答者： lazydog1 回答日時： 2013/07/12 15:30

　B、Cそれぞれ全部（100gずつ）をAに入れて、撹拌し、B、Cに戻すと、AとBは同じ濃度です（なんというか、全部を混ぜ合わせたのだから、当たり前と申しますか）。

１）Cからは、100g。
２）(3＋6＋9)÷3＝6％

※こういう解があるとしても、他に解はない、ということは分かりません。

No.8 回答者： redgarbera 回答日時： 2013/07/12 13:12

他の人も書いている通り、BとCから何gかずつ取り出してAに加えたあとのAの濃さは６％ですね。

これはもう説明不要でしょう（他の方の解説を読んでもよくわからない、という場合は補足をつけて下さい）。
とするとA（３％）100gにＢ（６％）□ｇとＣ(10％）△ｇを混ぜたら６％になったんですね。
でも、混ぜたあとの濃さは６％、Ｂも６％、ということは、Ｂ□ｇは入れても入れなくても６％になるはずですよね。
つまり、A（３％）100gにＣ(10％）△ｇを混ぜたら６％になったわけです。この△ｇを出せばこれが（１）の答えになるわけですが、これは受験のための勉強をしていれば面積図で解けるはずですからお子さんに任せましょう。

それと（２）は次の方法がいちばん楽でしょう。
はじめにＡ、Ｂ、Ｃに入っていた食塩水はすべて100ｇでした。とするとそれぞれの食塩水に含まれている食塩の重さは濃さの数値と同じになりますから、計算しなくてもそれぞれ３ｇ、6ｇ、10ｇとわかります。あわせて19ｇ入っているんですね。
そして、操作を終えたあとの食塩水もすべて100ｇです。Ａに移したのと同じ重さの食塩水をＡから戻したんですからね。
そしてＡとＢは６％ですから、食塩の重さもそれぞれ6ｇです。あわせて12ｇですね。とするとＣに含まれている食塩は19－12＝７ｇです。これも食塩水の重さは100ｇですから、食塩が７ｇなら濃さも７％です。
このように、食塩水をやりとりする問題の場合、食塩の重さを使うと楽に解けることがよくありますよ。

それにしても、こういう質問に対して解き方がわからないのに回答を寄せる人がいるのは面白いことですね。

No.7 回答者： KEIS050162 回答日時： 2013/07/12 11:37

AにBとCの食塩水を混ぜて、ある濃度になった後に、Bに戻して、その濃度は有る濃度と同じになった、というのがポイントですね。

こうなるためには、ある濃度は元のBの濃度でなければならないです。

ある濃度を６％の食塩水に加えて、６％の以外の濃度になってしまうということは、ある濃度も変わってしまうということなので、混合後のAの濃度と同じになり得ないですから。


ということは、AにBとCの食塩水を混ぜて出来上がった濃度は、Bの元の濃度６％ということですから、Bの食塩水の移動は無視してよいです。Bの食塩水は濃度が変わらないので、何ｇ移動しても影響しないです。


３％　１００ｇの食塩水に　１０％　？ｇの食塩水を混ぜたら６％の食塩水になった、という問題に読み替えて、？ｇの部分を求めればＯＫですね。

一次方程式を使えばもちろん解けますが、小学生では、簡単な面積図など解くのよいでしょう。（和差算や鶴亀算と同じ方法）


縦軸が３％、６％、１０％で、横軸に、１００ｇ＋？ｇで、
３％ x　１００ｇの四角形、
６％　ｘ　（１００ｇ＋？ｇ）の四角形
１０％　ｘ ？ｇの四角形を描いて、

（６－３）％　x １００ｇ　の面積と、
（１０－３）％　×　？ｇ　の面積が同じになるのですから、

？　＝　３００÷４　＝　７５ｇ

戻した後のCの濃度は、

１０％　２５ｇ　の食塩水と、６％　７５ｇの食塩水の混合なので、

（２５＊０．１＋７５＊０．０６）　÷　１００　＝７％


ご参考に。

検算：
Bは何ｇでもいいのですが、仮に５０ｇとでもしてみます。

（３％＊１００＋６％＊５０＋１０％＊７５ｇ）÷（１００＋５０＋７５）＝６％

（６％＊５０＋６％＊５０）÷（５０＋５０）＝６％

Bの５０ｇを適当に変えても、６％は変わらないはず。

No.6 回答者： aguriasu2 回答日時： 2013/07/12 11:32

No4さんのいうこともわかりますが、非常によい問題だと私は思います。

No5さんの言うとおり、この問題の抑えるべきところは数学力というよりは問題読解力と理科力だと思います。
ただ計算ができるだけではこの問題は解けません。

Aの濃度が6％になるということを読み解く能力があるかないかです。

一個レベルの低い中学ならこの(1)の前に
Aの濃度は何パーセントでしょうか
という問いがあるかもしれません。

No.5 回答者： pancho 回答日時： 2013/07/12 11:23

　第一の過程：ＢとＣからＡに食塩水を移す

　第二の過程：ＡからＢとＣに食塩水を移す
という２つの過程を経ることになります。

まず抑えるべきポイントは、
　第一の過程でＢとＣの濃度は変化しないが、Ａの濃度は変わる
　第二の過程でＢとＣの濃度は変化する可能性が有るが、Ａの濃度は変わらない
ということです。

で、問題文に「ＡとＢの濃さがおなじになりました」と書かれていることから、第一の過程を終えた時点で（第二の過程の前）、既にＡとＢの濃さが同じになっているということが解ります。すなわち６％です。
　（ＡとＢの濃さが違っていたら、どんな量を移動しても第二の過程でＡとＢの濃さが同じになる事は無い）

そして、Ｂの濃さは一貫して６％ですから、結局Ｃから濃さ１０％の食塩水をＡに移すことでＡの濃度が６％になったということです。後は学習済みの計算でしょう。

ちなみに、問い自体には出てきませんが、ＢからＡに移す量は０～１００ｇの間で不定です。
　（何グラムであっても結果は変わらない）

以上。

No.4 回答者： Water_5 回答日時： 2013/07/12 11:22

明治中学の入試問題と言うことは

小学６年生ですね。

問題が難しすぎる。こんな問題を出すほうがあほです。
こんな問題は無視するようにしましょう。

No.3 回答者： tsuyoshi2004 回答日時： 2013/07/12 11:15

この問題って、先に推定ができるかどうかが鍵でしょう。

Ａの容器にＢとＣから混ぜた後に、
１）Ａの容器の方がＢの容器（６％）よりも濃い場合に、そこからＢの容器に混ぜてもＢの容器はＡほど濃くはならない（薄いものに濃いものを混ぜても、混ぜたものの濃さほどは濃くならない）
２）Ａの容器の方がＢの容器（６％）よりも薄い場合も、そこからＢの容器に混ぜてもＢの容器はＡほど薄くはならない
３）したがって、最初にＡにＢとＣから混ぜたときに、Ａの容器の濃さはＢと同じだったのではないか？

という推論が立てば、
そもそもの問題は「１００ｃｃで濃度３％に濃度１０％をどれだけ混ぜれば、６％になるか？」という問題と同じです。

ただし、出題意図と合っているかはともかくとして、
最初にＢの食塩水を全て（１００ｃｃ）Ａに入れてしまえば、Ｃからどれだけ入れようが後でＢにＡから１００ｃｃ戻せば、ＡとＢは必ず同じ濃さになります。

ということで、本来は不完全な問題だと思います。

No.2 回答者： Mathmi 回答日時： 2013/07/12 11:14

多分これで合っていると思いますが。

＞容器B、Cから取り出したのと同じ量の食塩水を～容器AとBの食塩水の濃さが同じになりました。
という事はつまり、戻す前の容器Aと容器Bの濃度は等しい、つまり変化後の容器Aの濃度は6%という事になります。
(濃度が違った場合、例えば容器Aの濃度が10%とか4%とかだった場合、容器Bの濃度は容器Aに近づきますが、同じになることはありません。)

問1では、最終的な濃度が6%なので、容器Bから入れた食塩水は無視できます。
容器Cから移した食塩水の量をC[g]とすると、
100[g]*0.03+C[g]*0.1=(100+C)[g]*0.06
3+0.1C=6+0.06
0.04C=3
C=75
となり、答えは75[g]となります。

問2は、25gの10%食塩水と75gの6%食塩水を混ぜるのですから
(25*0.1+75*0.06)/100=0.07
ゆえに答えは7[%]となります。