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曲線の式は、
X^2+(Y-3√(X^2))^2=1

3√は3乗根の意味です。

Xの範囲が、-1<=X<=+1 ということ、グラフはY軸を中心として左右対称というところまでは解ったのですが、どうやってグラフを描けばよいかが解りません。

どうかよろしくお願いいたします。

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A 回答 (3件)

xを-xとおいても方程式は変わらないのでy軸対称のグラフになります。


従って、x≧0の方のグラフが描ければx≦0の方はx≧0のグラフをy軸で折り返せば得られます。
従ってx≧0の方のグラフを考えれば良いでしょう。

 X^2+(Y-3√(X^2))^2=1 ,,,(1)
(これはY軸対称のハート型のグラフの方程式として知られています。
グラフは添付図赤実線のようになります。)

(1)をyについて解けば
 Y=(X^2)^(1/3) ±√(1-X^2)...(2)
すなわち 0≦X≦1として
 Y=X^(2/3) +√(1-X^2) ...(2-1)

 Y=X^(2/3) -√(1-X^2) ...(2-2)

(2-1)は Y=X^(2/3)とY=√(1-X^2)(中心原点、半径1の4分円)のグラフを0≦X≦1にわたり加えれば描けます。
Y≧1のグラフとなります。
X=0とX=1でY=1となり、上に凸の円い山型のグラフになります。
(添付図のハート型の右半分の上の山の部分)

(2-2)はY=X^(2/3)とY=-√(1-X^2)をのグラフを0≦X≦1にわたり加えれば描けます。
Y≦1のグラフとなります。
X=0でY=-1,X=1でY=1となる単調増加関数のグラフになります。クラフの左側が上に凸、右側が下に凸のグラフになります。
(添付図のハート型の右半分の下側部分)

参考URL:http://d.hatena.ne.jp/Zellij/20111205/p1
「この関数のグラフを描きたいのですが・・・」の回答画像1
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この回答へのお礼

お礼遅くなりまして失礼します。
私はY=・・・の形にして、微分して極大・極小、増加の仕方から一発でグラフを描こうとしていました。
ご教授ありがとうございます。

お礼日時:2013/08/12 01:30

No.1です。



ANo.1のハート形の図で左上のYが最大となる点の座標(X,Y)について

 X^2+(Y-X^(2/3))^2=1 (0<X<1)
Yについて解いて
 Y=X^(2/3)+(1-X^2)^(1/2) (0<X<1)
X^(2/3)=t (0<t<1)とおいて
 Y=t+(1-t^3)^(1/2)
 dY/dt=1+(1/2)(-3t^2)/(1-t^3)^(1/2)=1-(3/2)t^2/(1-t^3)^(1/2)
  ={2√(1-t^3)-3t^2}/{2√(1-t^3)}
dY/dt=0より
 2√(1-t^3)-3t^2=0 (0<t<1)
 2√(1-t^3)=3t^2
両辺自乗して
 4(1-t^3)=9t^4
 9t^4+4t^3-4=0
この4次方程式は2実数解と2虚数解を持ちます。2実数解の内、片方は負ですので0<t<1を満たす実数解は1つのみです。
このtの値は次の複雑な式になります。筆算では導出は無理でしょう。
ニュートン法でなら簡単に数値計算でt,X,Yの近似値が求められます。

t=-(2*(9*2^(1/3)*(√109-1)^(2/3)+2^(2/3)*(√109-1)^(1/3)-54)^(1/4)*(√109-1)^(1/6)-√2*
√(2^(7/3)*√(√109-1)-√(9*2^(1/3)*(√109-1)^(2/3)+2^(2/3)*(√109-1)^(1/3)-54)*(9*2^(2/3)*(√109-1)^(2/3)-4*(√109-1)^(1/3)-27*2^(4/3)))+2^(2/3)*
(9*2^(1/3)*(√109-1)^(2/3)+2^(2/3)*(√109-1)^(1/3)-54)^(3/4))/(18*(9*2^(1/3)*(√109-1)^(2/3)+2^(2/3)*(√109-1)^(1/3)-54)^(1/4)*(√109-1)^(1/6))
≒0.72445780519907
X=t^(3/2)
=〔[-2{9*2^(1/3)*(√109-1)^(2/3)+2^(2/3)*(√109-1)^(1/3)-54}^(1/4)
*(√109-1)^(1/6)
+√2*√{4*2^(1/3)*√(√109-1)-√(9*2^(1/3)*(√109-1)^(2/3)+2^(2/3)*(√109-1)^(1/3)-54)*(9*2^(2/3)*(√109-1)^(2/3)-4*(√109-1)^(1/3)-54*2^(1/3))}
-2^(2/3)*
{9*2^(1/3)*(√109-1)^(2/3)+2^(2/3)*(√109-1)^(1/3)-54}^(3/4)]^(3/2))〕
/[54√2*{9*2^(1/3)*(√109-1)^(2/3)+2^(2/3)*(√109-1)^(1/3)-54}^(3/8)
*(√109-1)^(1/4)]
≒0.61662289189582 ←ハート形右上の最大値をとる点のX座標
Y≒1.511716472467995 ←ハート形右上の最大値の点のY座標
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この回答へのお礼

置換、忘れていました。
補足ありがとうございます。

陰関数の微分とかでもっと簡単に求められるのでは?と思っておりました・・・

お礼日時:2013/08/12 01:39

y軸対称であることが判ったら、x≧0 の部分を考えたらいいです。


そこでは、√(x2乗) = |x| = x ですから、
問題の式は x2乗 + (y-3x)2乗 = 1 となります。
左辺を展開すると、10x2乗 - 6xy + y2乗 = 1 です。
下の式形を見れば、二次曲線であると判り、
上の式形を見れば、x,y が有界ですから、
要するに、これは楕円の方程式です。
問題の図形は、楕円を y 軸で切って
対称に繋げたものだと解ります。

半分の楕円の形を決定するには、
二次形式の知識があるとよいのですが、
最近は、教わらないのかもしれません。
行列 A を、A =
  10  -3
  -3  1
と置いて、方程式を (x y) A (転置(x y)) = 1
と変形し、A を対角化すれば、
固有ベクトルが楕円の軸方向となり、
長軸短軸の長さも判ります。
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この回答へのお礼

お礼遅くなりまして失礼します。
私はY=・・・の形にして、微分して極大・極小、増加の仕方から一発でグラフを描こうとしていました。
ご教授ありがとうございます。

お礼日時:2013/08/12 01:33

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Aベストアンサー

模試の対策をする必要はありません。
普段の勉強の成果を確認するための物ですから。
対策の結果、実力以上の点が出てしまえば、かえって実力が見えなくなります。

適切なレベルの物で勉強したい、というのは伝わります。
しかし模試は模試。
最適な教材になるとは思えませんし、なるようなら進研がとっくに発売していますし、進研ゼミなどとっくにやめているでしょう。

書店に行っても教材が多すぎると言いますが、自分の学力が把握できればおそらくそれでかなり絞れるはずです。
それも判らなければ、基礎的な薄い物をやってみて、その感触で量るのが良いでしょう。
また、色々な教材を良く眺めてみるいうのも良い勉強です。
根性決めて書店に「通って」ください。
進研の模試もそうですが、教材には相性やレベルがあります。
進研の問題は確かに基礎的な良問であるような気はしますが、だからと言って、あなたがそれで勉強できるかどうかは判りません。
もっと基礎が抜けているのかも知れないし、そんな問題では簡単すぎるのかも知れません。
それはどの教材であってもそうです。

基礎ができていないのなら基礎、入試標準レベルのところでつっかえているのならそれ、と今自分が何をすべきか、で決めて、それをさっさと終えてください。
最後までそれだけでやり通そうとするから基礎から応用まで、なんて事を言うんです。
そもそも化物に至っては、教科書をきちんと読んでいるのか。理解できるよう読んでいるのか。なんて事が第一です。
その上で参考書、です。
物理は、一読しただけではさっぱり判らなくて当然です。
何度も教科書や参考書を読み、基礎問題を解き、解らなくなってまた教科書参考書に戻る、の繰り返しです。しつこくしつこく。
天才を除けば根負けするかどうかの科目だと思っています。

単語帳は相性次第です。
前書きからしっかり立ち読みし、相性が良さそうな物を選んでください。
当面センターレベルで良いので、さっさと終わらせることです。
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古典は知りません。
理系なら、二次私大でで国語を使うのかどうかでどこまでやるかが変わると思います。
あなたなら、伊藤さんの「ビジュアル英文解釈」ができると思います。
最初は易しいですが、最後までやり通したり、その後の「英文解釈教室」まで行けば大した物だと思います。

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