二次不定方程式が解けません

4X^2+4XY+3Y^2-4X-2Y-16=0

この不定方程式が解けません。因数分解もできずお手上げ状態です。
どうかよろしくお願いします。

No.3 回答者： spring135 回答日時： 2013/08/25 16:24

NO.1です。

X,yが整数になるためにはルートの中Dが整数の２乗になっている必要があります。

D=17-2Y^2

Y=1のときD=17（不適）

Y=±2のときD=9（適）

Y≧3ではD<0となり不適

よってY=±2、D=9、このとき

X=[-(Y-1)±√（17-2Y^2)]/2＝-2,1

答え

（X,Y)=(-2,2）

または（X,Y)=(1,2）

または（X,Y)=(3,-2）

または（X,Y)=(0,-2)

No.2 回答者： ramayana 回答日時： 2013/08/25 16:24

もし、整数解を求めたいなら、次のようになります。

XY の項と 1 次の項を消すように 1 次変換で

　　x = 4X + 2Y - 2
　　y = Y

と置くと、

　　x^2 + 8y^2 = 68

となります。これから、

　　(x, y) = (6, 2), (6, -2), (-6, 2), (-6, -2)

となり、これをさらに X, Y に戻すと、

　　(X, Y) = (1, 2), (3, -2), (-2, 2), (0, -2)

が得られます。

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2013/08/25 14:52

不定方程式である以上解けないのが当然です。

要はこの与えられた条件をいかに活用するか、言い換えると質問者は何をしたいのかによります。

一つのチャレンジは与式X（またはY）に関する式とみてX=f(Y)の形に変形することです。

＞4X^2+4XY+3Y^2-4X-2Y-16=0

4X^2+4（Y-1)X+3Y^2-2Y-16=0

解の公式により

X=[-(Y-1)±√（17-2Y^2)]/2

この回答への補足

すみません。何かいろいろと足りなかったので補足しておきます。

問:式に当てはまる整数解を求めよ

spring135さん、申し訳ありませんでした。

補足日時：2013/08/25 15:08