中学受験算数 平行四辺形の面積を求める問題

平行四辺形ABCDの、辺ABの長さは9cm、辺BCの長さは13cm。

辺AB・辺DCは三等分、辺AD・辺BCは四等分された点から、
線を引いてできる、内側の色が塗られている部分の面積を求める問題です。

よろしくお願いします。

No.4 ベストアンサー 回答者： redgarbera 回答日時： 2013/10/01 12:25

まず平行四辺形EBGDの面積は平行四辺形ABCDの面積の2/3になります。

次に、三角形AIEと三角形AJBは相似で、この相似比は１：３ですから、IEとJBの長さの比も１：３です。
そしてJBとDLの長さは同じですから、IEとDLの長さの比も１：３ですね。
一方三角形DHLと三角形DAIも相似で、この相似比は１：４ですから、DLとDIの長さの比も１：４、だからDLとLIの比は１：３ですね。
とすると、線DI上でDL：IE＝３：１、DL：LI＝１：３ですから、DL：LI：IE＝３：９：１になります。
同様に、線BG上でBJ：JK：KG＝３：９：１になります。
とすると並行四辺形IJKLの面積は平行四辺形EBGDの9/13になります。これはわかりますか。底辺が13と９、高さが同じなので面積も9/13になるのです。

平行四辺形EBGDの面積は平行四辺形ABCDの面積の2/3、並行四辺形IJKLの面積は平行四辺形EBGDの9/13なのですから、並行四辺形IJKLの面積は平行四辺形EBGDの6/13になります。2/3×9/13ですね。

いかがでしょうか。わかりにくかったら補足をつけて下さい。なお、画像を添付するのは初めてなので、きちんと添付されているかどうかわからず、心配です。もし画像がついていなかったらごめんなさい。

No.6 回答者： redgarbera 回答日時： 2013/10/02 11:15

No.５です。

再度つけたします。
この図形が平行四辺形だとすると面積は出せません。その場合は13cmと９cmは使われないことになります。
ただ、もしかしたらもとの問題ではこの図形が長方形だったのかもしれませんね。
その場合は面積が13cm×９cmで出せますし、その6/13で答えも出せますよ。

この回答へのお礼

13cm、9cmの平行四辺形だったことは間違いないです。
（コピーが絶妙に歪んで、長方形が平行四辺形に見えた以外で）

設問に不備があったのだと思いますが、
皆様方の御解答は大変参考になりました。ありがとうございます。

お礼日時：2013/10/03 00:49

No.5 回答者： redgarbera 回答日時： 2013/10/01 12:39

No.４です。

最後のところだけ間違っていました。
「平行四辺形IJKLの面積は平行四辺形EBGDの6/13になります」は「並行四辺形IJKLの面積は平行四辺形ABCDの6/13です」です。失礼しました。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

御回答を読んでいると面積を求めるのではなく、
何分の一かを求める問題のような気がしてきました。

そう思って改めて解き直してみると、よく出来ている問題ですね。
ただ13cmと9cmは全く使わないので、ダミー？ということでしょうか……

お礼日時：2013/10/02 00:14

No.3 回答者： j-mayol 回答日時： 2013/09/30 21:41

恥ずかしながら引き算ミスで間違っておりました。

6/13が正解だと思います。（若干弱気・・）
添付図のように補助線を引き、底辺の比＝面積比を用いて全体を表していきます
最も小さい三角形を１とすると、底辺の比から３と12の部分の面積が求められます。
添付図で記号を入れ忘れましたがＡとＢとの間にある２直線の交点部分をＡ’とすると
ＡＡ’：ＤＥは三角形の相似より１：４
よって
ＡＡ’：ＣＢ：ＢＡ’＝１：４：８だから底辺の比を用いて面積４と８の部分が求められる。
平行四辺形全体の面積は（４＋８＋１）×４×２＝104
中央の平行四辺形の面積を求めるために不要な三角形を除くが除く部分は
（４＋８＋１＋３＋１２）×２＝56
よって中央の平行四辺形は104-56＝46
よって48/104＝6/13

この回答へのお礼

No4さんと共に、こちらの御回答の解き方も分かりやすかったです。
ありがとうございます。
最も小さい三角形と補助線を使うところに、痺れました。

お礼日時：2013/10/02 00:16

No.2 回答者： j-mayol 回答日時： 2013/09/29 16:31

内側の平行四辺形が平行四辺形ＡＢＣＤの25/53になることはわかります。

計算ミスしていないとは思いますが・・・
但し、Ｎｏ．１の回答者もおっしゃっていますが、四辺の値だけでは平行四辺形ＡＢＣＤの面積が
定まりませんので、必然的に求める部分の面積も定まりません。

この回答への補足

やはり問題設定ミスということでしょうか。
おそらく辺の比か、相似な三角形で解かせようとした問題だと思います。
設問には全体の面積の値も出ていませんでした。

ですが、もし平行四辺形ABCDの面積が53cm2だったとしたら、
内側の面積は25cm2になるのでしょうか。
求め方、計算式を教えていただきたいです。

補足日時：2013/09/30 10:48

No.1 回答者： l4330 回答日時： 2013/09/29 12:01

　

その問題に答えはありません。
二辺の長さだけでは平行四辺形は定まりません。
つまり、平行四辺形は無限の大きさがあります
写真の水色と赤線の平行四辺形は辺の長さは同じです
　

この回答への補足

設問は、芝中学校の古い過去問からです。（5年～10年ほど前だと思います）
手元に無いので確認できませんが、問題文の情報に過不足は無いはずです。

平行四辺形ではなく、四角形ABCDなら取っかかりがありそうな気がするのですが、
過去問では平行四辺形だったと思います。

設問ミス？　それとも私の記憶違いでしょうか（それなら大変申し訳ないのですが）

補足日時：2013/09/29 12:26