記号の意味が・・・

　　微積の教科書を読んでいた次のような記号が突然でて
きて意味がわからなく困っています。
　１　　：＝　　（イコールの前にセミコロンがつくとただのイコールとどうちがうのですか？）
　２　　ヨ
　３　　∀
これら３つについて教えてください。お願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2001/06/01 12:11

puni2さんのご回答にちょっとだけ補足。

∀x∈Ｒ(○○)と∃x∈Ｒ(○○)は略記法です。それぞれ正式には
　∀x(x∈Ｒ→○○) 　「任意のxについて、もしxがRの要素であるならば○○である。（だから、もしxがRの要素でない場合には、○○であるか○○でないか、どちらでも良い）」
　∃x(x∈Ｒ∧○○) 　 「あるxが存在して、xはRの要素であって、しかも○○である、そういうxが存在する。」
と書く。こっちのほうが意味がはっきりしてるでしょう？
　また、∀x(∀y(○○))　は　∀y(∀x(○○))　と同じであり、∃x(∃y(○○))　は　∃y(∃x(○○))　と同じですが、∀x(∃y(○○))　と　∃y(∀x(○○)) 　は全然意味が違うことに注意する必要があります。例えば
∀x(∃y(x∈R→(y=2x∧y∈R)))
これは「どんな実数もその2倍というものが定義されていて、それは実数である」という意味で、もちろん真です。しかし、
∃y(∀x(x∈R→(y=2x∧y∈R)))
となると「どんな実数を２倍しても同じyという値になる、そういう実数yが存在する」という訳で、これは偽ですね。
　さらに、∀x(∃y(○○))では括弧がうるさいので、紛らわしくない限り ∀x∃y○○ のように括弧を省くのが普通ですが、本来括弧があるものと思ってください。∀x,y,z(○○)も本来は∀x(∀y(∀z(○○)))の意味であることはもうお分かりでしょう。

ついでに
X：= Y
については、（古典的かつエレガントな）プログラミング言語ALGOLで導入された記号で、本来は「左辺の変数xの値を強制的にyの値にする」つまり代入を表しています。（このスタイルはPascalなどに伝承されていますね。）これを類推で「xをyで定義する」つまり「右辺の意味を表すために左辺のような略記法を導入する」と読み替えて使うようになったようです。だから、
∀x∈Ｒ(○○)：＝∀x(x∈Ｒ→○○)
という訳です。
　ほかにも、左辺を右辺で定義する、ということを示すのに
x≡y
とか（これは合同式と混同しやすい）
=の上に△を載せた記号を使う人もいます。

No.2 回答者： puni2 回答日時： 2001/06/01 04:37

では，私からは∀と∃について。

○○がxを含む命題だとして，
∀x{○○}で，「どんなxについても○○である」
∃x{○○}で，「○○であるようなxが（少なくとも一つ）存在する」
たとえば，実数の集合をＲとすると，
∀x∈Ｒ{○○}で，「全ての実数xについて○○である」
∃x∈Ｒ{○○}で，「○○であるような実数xが存在する」
それぞれ，existとanyの頭文字をひっくり返したといわれています。
（ただ，私が大学1年のときに教わった先生は「anyというのは俗説で，本当はarbitrary（任意の）から来ているんだ」と力説しておられました。
微積ですと，極限とか連続の定義のところでよく登場しますね。

No.1 回答者： burgess_shale 回答日時： 2001/06/01 04:04

詳しくは参考URLをご覧下さい。

「:=」　は定義式の時に使います。
x:=tanθとすると、tanθをxと定義するというふうに使っています。
お役に立ちましたでしょうか？

参考URL：http://www.hana.or.jp/~kakuchu/kazufumi/kazufumi …